Como racionalizar o denominador

Contente

• TL; DR (muito longo; não leu)
• Racionalizando uma fração com um termo no denominador
• Racionalizando uma fração com dois termos no denominador
• Racionalizando raízes de cubo

Você não pode resolver uma equação que contenha uma fração com um denominador irracional, o que significa que o denominador contém um termo com um sinal radical. Isso inclui quadrado, cubo e raízes mais altas. Livrar-se do sinal radical é chamado racionalizar o denominador. Quando o denominador tem um termo, você pode fazer isso multiplicando os termos superior e inferior pelo radical. Quando o denominador tem dois termos, o procedimento é um pouco mais complicado. Você multiplica as partes superior e inferior pelo conjugado do denominador e expande e simplesmente o numerador.

TL; DR (muito longo; não leu)

Para racionalizar uma fração, você deve multiplicar o numerador e o denominador por um número ou expressão que se livre dos sinais radicais no denominador.

Racionalizando uma fração com um termo no denominador

Uma fração com a raiz quadrada de um único termo no denominador é a mais fácil de racionalizar. Em geral, a fração assume a forma a / √x. Você o racionaliza multiplicando o numerador e o denominador por √x.

√x / √x • a / √x = a√x / x

Como tudo que você fez é multiplicar a fração por 1, seu valor não mudou.

Exemplo:

Racionalize 12 / √6

Multiplique o numerador e o denominador por √6 para obter 12√6 / 6. Você pode simplificar isso dividindo 6 em 12 para obter 2, para que a forma simplificada da fração racionalizada seja

2√6

Racionalizando uma fração com dois termos no denominador

Suponha que você tenha uma fração na forma (a + b) / (√x + √y). Você pode se livrar do sinal de radical no denominador multiplicando a expressão pelo seu conjugado. Para um binômio geral da forma x + y, o conjugado é x - y. Quando você os multiplica, você obtém x² - y². Aplicando esta técnica à fração generalizada acima:

(a + b) / (√ x - √y) • (√x - √y) / (√x - √y)

(a + b) • (√x - √y) / x - y

Expanda o numerador para obter

(a√x -a√y + b√x - b√y) / x - y

Essa expressão se torna menos complicada quando você substitui números inteiros por algumas ou todas as variáveis.

Exemplo:

Racionalize o denominador da fração 3 / (1 - √y)

O conjugado do denominador é 1 - (-√y) = 1+ √y. Multiplique o numerador e o denominador por esta expressão e simplifique:

[3 • (1 + √y)} / 1 - y

(3 + 3√y) / 1 - y

Racionalizando raízes de cubo

Quando você tem uma raiz cúbica no denominador, multiplica o numerador e o denominador pela raiz cúbica do quadrado do número sob o sinal radical para se livrar do sinal radical no denominador. Em geral, se você tiver uma fração na forma de / ³√x, multiplique superior e inferior por ³√x².

Exemplo:

Racionalize o denominador: 7 / ³√x

Multiplique o numerador e o denominador por ³√x² para obter

7 • ³√x² / ³√x • ³√x² = 7 • ³√x² / ³√x³

7 • ³√x² / x