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As propriedades associativas, juntamente com as propriedades comutativas e distributivas, fornecem a base para as ferramentas algébricas usadas para manipular, simplificar e resolver equações. No entanto, essas propriedades não são úteis apenas na aula de matemática, mas também ajudam a facilitar os problemas matemáticos do cotidiano. Embora existam apenas duas propriedades associativas, a propriedade associativa de adição e a propriedade associativa de subtração, duas propriedades "pseudo" associativas de subtração e divisão podem ser usadas com um pouco de pensamento extra.
Propriedade associativa de adição
A propriedade associativa da adição permite reagrupar certas partes de uma cadeia de termos ou "pedaços" que estão sendo adicionados sem alterar o significado ou a resposta. Esse agrupamento é feito movendo os locais dos parênteses. Por exemplo, (3 + 4 + 5) + (7 + 6) podem ser alterados usando a propriedade associativa de adição para ficar assim: (3 + 4) + (5 + 7 + 6). Você pode verificar se a propriedade é verdadeira seguindo a ordem das operações, que diz que as operações entre parênteses devem ser executadas primeiro e observando que (12) + (13) é igual a 25 enquanto (7) + (18) também é igual a 25)
Propriedade associativa da multiplicação
A propriedade associativa da multiplicação funciona exatamente como a adição, exceto que lida com a operação de multiplicação. Portanto, sustenta que você pode alterar os parênteses em uma sequência de multiplicação sem afetar o resultado. Por exemplo, (15 x 2) (3 x 4) (6 x 2) poderia ser reescrito como (15 x 2 x 3) (4 x 6 x 2) e você ainda obteria a mesma resposta. Essa propriedade também permite trabalhar com multiplicação quando se trata de variáveis e seus coeficientes. Por exemplo, você não pode fazer 4 (3X) porque X é um desconhecido e você teria que fazer 3 x X primeiro de acordo com a ordem das operações. No entanto, a propriedade associativa da multiplicação permite reescrever 4 (3X) como (4x3) X, o que lhe dá 12X.
Subtração
Não há propriedade associativa de subtração. No entanto, você pode trabalhar com subtração em alguns casos, alterando-o para "mais um número negativo". Por exemplo, (3X - 4X) + (13X - 2X - 6X) pode ser alterado primeiro para (3X + -4X) + (13X + -2X + -6X). Em seguida, você pode aplicar a propriedade associativa de adição para que fique assim: (3X + -4X + 13X) + (-2X + 6X). No entanto, isso não funcionará se o sinal de subtração no problema original estiver localizado entre os conjuntos de parênteses. (Para isso, a propriedade distributiva é necessária).
Divisão
Também não há propriedade associativa de divisão. Portanto, a divisão precisa ser reescrita como multiplicadora por uma recíproca. Se uma expressão exibir: (5 x 7/3) (3/4 x 6), você deverá alterá-la para: (5 x 7 x 1/3) x (3 x 1/4 x 6). Em seguida, você pode usar a propriedade associativa para escrevê-la como (5 x 7) x (1/3 x 3 x 1/4 x 6). No entanto, como na subtração, você não pode usar esta técnica se o sinal de divisão estiver entre parênteses.