Contente
- Cancelando expressões radicais de uma fração
- Simplificando a expressão radical
- Racionalizando o denominador
As frações radicais não são pequenas frações rebeldes que ficam de fora até tarde, bebendo e fumando maconha. Em vez disso, são frações que incluem radicais - geralmente raízes quadradas quando você é introduzido pela primeira vez no conceito, mas, mais tarde, você também pode encontrar raízes de cubo, quarta raiz e coisas do gênero, todas chamadas também de radicais. Dependendo exatamente do que seu professor está pedindo, existem duas maneiras de simplificar frações radicais: fatorar completamente o radical, simplificá-lo ou "racionalizar" a fração, o que significa que você elimina o radical do denominador, mas ainda pode tem um radical no numerador.
Cancelando expressões radicais de uma fração
Considere sua primeira opção, fatorando o radical da fração. Na verdade, existem duas maneiras de fazer isso. Se o mesmo radical existe em todos os termos na parte superior e inferior da fração, você pode simplesmente fatorar e cancelar a expressão radical. Por exemplo, se você tiver:
(2√3) / (3√3_)_
Você pode fatorar os dois radicais, porque eles estão presentes em todos os termos do numerador e denominador. Isso deixa você com:
√3/√3 × 2/3
E como qualquer fração com exatamente os mesmos valores diferentes de zero no numerador e no denominador é igual a um, você pode reescrever isso como:
1 × 2/3
Ou simplesmente 2/3.
Simplificando a expressão radical
Às vezes, você se depara com uma expressão radical que não tem uma resposta concisa, como √3 do exemplo anterior. Nesse caso, você geralmente preserva o termo radical da maneira que é, usando operações básicas como fatoração ou cancelamento para removê-lo ou isolá-lo. Mas às vezes há uma resposta óbvia. Considere a seguinte fração:
(√4)/(√9)
Nesse caso, se você conhece suas raízes quadradas, pode ver que os dois radicais realmente representam números inteiros familiares. A raiz quadrada de 4 é 2 e a raiz quadrada de 9 é 3. Portanto, se você encontrar raízes quadradas familiares, poderá reescrever a fração com elas na forma simplificada e inteira. Nesse caso, você teria:
2/3
Isso também funciona com raízes de cubo e outros radicais. Por exemplo, a raiz do cubo 8 é 2 e a raiz do cubo 125 é 5. Portanto, se você encontrou:
(3√8) / (3√125)
Com um pouco de prática, você poderá ver imediatamente que isso simplifica para o muito mais simples e fácil de lidar:
2/5
Racionalizando o denominador
Freqüentemente, os professores permitem que você mantenha expressões radicais no numerador da sua fração; mas, assim como o número zero, os radicais causam problemas quando aparecem no denominador ou no número inferior da fração. Portanto, a última maneira de simplificar as frações radicais é uma operação chamada racionalizá-las, o que significa apenas tirar o radical do denominador. Freqüentemente, isso significa que a expressão radical aparece no numerador.
Considere a fração
4/_√_5
Você não pode simplificar facilmente _√_5 a um número inteiro e, mesmo se o fatorar, ainda ficará com uma fração que possui um radical no denominador, da seguinte maneira:
1/_√_5 × 4/1
Portanto, nenhum dos métodos já discutidos funcionará. Mas se você se lembrar das propriedades das frações, uma fração com qualquer número diferente de zero na parte superior e inferior é igual a 1. Portanto, você pode escrever:
√_5/√_5 = 1
E como você pode multiplicar 1 vezes qualquer outra coisa sem alterar o valor dessa outra coisa, você também pode escrever o seguinte sem alterar o valor da fração:
√_5/√5 × 4/√_5
Depois que você se multiplica, algo especial acontece. O numerador se torna 4_√_5, o que é aceitável porque seu objetivo era simplesmente tirar o radical do denominador. Se ele aparecer no numerador, você pode lidar com isso.
Enquanto isso, o denominador se torna √_5 × √5 ou (√_5)2. E como uma raiz quadrada e um quadrado se cancelam, isso simplifica para simplesmente 5. Portanto, sua fração é agora:
4_√_5 / 5, que é considerado uma fração racional porque não existe radical no denominador.