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Quando você "eleva um número a uma potência", você está multiplicando o número por si próprio, e a "potência" representa quantas vezes você o faz. Então 2 elevado à 3ª potência é igual a 2 x 2 x 2, o que equivale a 8. Quando você aumenta um número para uma fração, no entanto, você está indo na direção oposta - você está tentando encontrar a "raiz" do número.
Terminologia
O termo matemático para elevar um número a uma potência é "exponenciação". Uma expressão exponencial tem duas partes: a base, que é o número que você está aumentando, e o expoente, que é o "poder". Portanto, quando você aumenta 2 para a 3ª potência, a base é 2 e o expoente é 3. Elevar a base para a 2ª potência é comumente chamado de esquadrar a base, enquanto elevá-la para a 3ª potência é comumente chamado de cubar a base. Os matemáticos geralmente escrevem expressões exponenciais com o expoente em sobrescrito - ou seja, como um pequeno número no canto superior direito da base. Como alguns computadores, calculadoras e outros dispositivos não lidam muito bem com o sobrescrito, expressões exponenciais também são comumente escritas assim: 2 ^ 3. O sinal de intercalação - o símbolo que aponta para cima - informa que o que se segue é o expoente.
Raízes
Em matemática, "raízes" são um pouco como expoentes ao contrário. Por exemplo, considere "2 à quarta potência", abreviado como 2 ^ 4. Isso é igual a 2 x 2 x 2 x 2, ou 16. Como 2 multiplicado por si só quatro vezes é igual a 16, a "quarta raiz" de 16 é 2. Agora, observe o número 729. Isso se divide em 9 x 9 x 9 - so 9 é a terceira raiz de 729. Ele também se divide em 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 - então 3 é a 6a raiz de 729. A segunda raiz de um número é comumente chamada raiz quadrada e a terceira raiz é a raiz do cubo.
Expoentes fracionários
Quando o expoente é uma fração, você está procurando uma raiz da base. A raiz corresponde ao denominador da fração. Por exemplo, considere "125 elevado à potência 1/3" ou 125 ^ 1/3. O denominador da fração é 3, então você está procurando a 3ª raiz (ou raiz do cubo) de 125. Como 5 x 5 x 5 = 125, a 3ª raiz de 125 é 5. Assim, 125 ^ 1/3 = 5. Agora tente 256 ^ 1/4. Você está procurando a quarta raiz de 256. Como 4 x 4 x 4 x 4 = 256, a resposta é 4.
Numeradores diferentes de 1
Os expoentes fracionários discutidos até este ponto - 1/3 e 1/4 - tiveram um numerador de 1. Se o numerador é algo diferente de 1, o expoente está realmente instruindo você a executar duas operações: encontrar uma raiz e elevando a um poder. Por exemplo, tome 8 ^ 2/3. O denominador "3" indica que você está procurando uma raiz de cubo; o numerador "2" indica que você aumentará para a 2ª potência. Não importa qual operação você executa primeiro. Você obterá o mesmo resultado de qualquer maneira. Então você pode começar pegando a 3ª raiz de 8, que é 2, e depois elevando-a para o 2º poder, o que lhe daria 4. Ou você pode começar aumentando 8 para o 2º poder, que é igual a 64, e depois pegando a terceira raiz desse número, que é 4. O mesmo resultado.
Uma regra universal
De fato, a regra "numerador como potência, denominador como raiz" se aplica a todos os expoentes - mesmo expoentes de número inteiro e expoentes fracionários com um numerador de 1. Por exemplo, o número inteiro 2 é o equivalente da fração 2 / 1 Portanto, a expressão exponencial 9 ^ 2 é "realmente" 9 ^ 2/1. Aumentar 9 para a 2ª potência fornece 81. Agora você precisa obter a "1ª raiz" de 81. Mas a 1ª raiz de qualquer número é o próprio número, então a resposta permanece 81. Agora, observe a expressão 9 ^ 1 / 2) Você pode começar aumentando 9 para o "1º poder". Mas qualquer número elevado à 1ª potência é o próprio número. Então, tudo o que você precisa fazer é obter a raiz quadrada de 9, que é 3. A regra ainda se aplica, mas nessas situações, você pode pular uma etapa.