Contente
- Definição de Desigualdade de Valor Absoluto
- Como resolver uma desigualdade de valor absoluto
- Desigualdades de valor absoluto sem solução
- Notação de intervalo
Resolver desigualdades de valor absoluto é muito parecido com resolver equações de valor absoluto, mas há alguns detalhes extras a serem lembrados. Isso já ajuda a resolver as equações de valor absoluto, mas tudo bem se você as estiver aprendendo juntas!
Definição de Desigualdade de Valor Absoluto
Primeiro de tudo, um desigualdade de valor absoluto é uma desigualdade que envolve uma expressão de valor absoluto. Por exemplo,
| 5 + x | - 10> 6 é uma desigualdade de valor absoluto porque possui um sinal de desigualdade,>, e uma expressão de valor absoluto, | 5 + x |.
Como resolver uma desigualdade de valor absoluto
o etapas para resolver uma desigualdade de valor absoluto são muito parecidos com os passos para resolver uma equação de valor absoluto:
Passo 1: Isole a expressão do valor absoluto em um lado da desigualdade.
Passo 2: Resolva a "versão" positiva da desigualdade.
Etapa 3: Resolva a "versão" negativa da desigualdade multiplicando a quantidade do outro lado da desigualdade por -1 e invertendo o sinal da desigualdade.
Isso é muito para absorver tudo de uma vez, então aqui está um exemplo que o guiará pelas etapas.
Resolver a desigualdade para x: | 5 + 5_x_ | - 3> 2
Para fazer isso, obtenha | 5 + 5_x_ | por si só, no lado esquerdo da desigualdade. Tudo o que você precisa fazer é adicionar 3 a cada lado:
| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
| 5 + 5_x_ | > 5
Agora, existem duas "versões" da desigualdade que precisamos resolver: a "versão" positiva e a "versão" negativa.
Para esta etapa, assuma que as coisas são como parecem: que 5 + 5_x_> 5.
| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5.
Esta é uma desigualdade simples; você só tem que resolver x como sempre. Subtraia 5 de ambos os lados e divida os dois por 5.
5 + 5_x_> 5
5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (subtraia cinco de ambos os lados)
5_x_> 0
5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (divida os dois lados por cinco)
x > 0.
Não é ruim! Portanto, uma solução possível para nossa desigualdade é que x > 0. Agora, como há valores absolutos envolvidos, é hora de considerar outra possibilidade.
Para entender esse próximo passo, é bom lembrar o que significa valor absoluto. Valor absoluto mede uma distância de números de zero. A distância é sempre positiva, então 9 está a nove unidades do zero, mas −9 também está a nove unidades do zero.
So | 9 = 9, mas | −9 = 9 também.
Agora, de volta ao problema acima. O trabalho acima mostrou que | 5 + 5_x_ | > 5; em outras palavras, o valor absoluto de "alguma coisa" é maior que cinco. Agora, qualquer número positivo maior que cinco estará mais distante de zero do que cinco. Portanto, a primeira opção foi que "algo", 5 + 5_x_, seja maior que 5.
Ou seja: 5 + 5_x_> 5.
Esse é o cenário abordado acima, na Etapa 2.
Agora pense um pouco mais. O que mais há cinco unidades longe de zero? Bem, cinco negativos é. E qualquer coisa além da linha numérica do número cinco negativo ficará ainda mais longe do zero. Portanto, o nosso "algo" pode ser um número negativo mais distante de zero do que cinco negativos. Isso significa que seria um número com um som maior, mas tecnicamente Menor que cinco negativos porque está se movendo na direção negativa na linha numérica.
Portanto, nosso "algo", 5 + 5x, pode ser menor que -5.
5 + 5_x_ <−5
A maneira rápida de fazer isso algebricamente é multiplicar a quantidade do outro lado da desigualdade, 5, por um negativo, e depois virar o sinal da desigualdade:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
Então resolva como de costume.
5 + 5_x_ <-5
5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (subtraia 5 de ambos os lados)
5_x_ <−10
5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
x < −2.
Portanto, as duas soluções possíveis para a desigualdade são x > 0 ou x <-2. Verifique você mesmo, inserindo algumas soluções possíveis para garantir que a desigualdade ainda seja verdadeira.
Desigualdades de valor absoluto sem solução
Existe um cenário em que haveria sem soluções para uma desigualdade de valor absoluto. Como os valores absolutos são sempre positivos, eles não podem ser iguais ou inferiores a números negativos.
So | x | <-2 tem sem solução porque o resultado de uma expressão de valor absoluto deve ser positivo.
Notação de intervalo
Para escrever a solução para o nosso exemplo principal em notação de intervalo, pense em como a solução fica na linha numérica. Nossa solução foi x > 0 ou x <-2. Em uma linha numérica, isso é um ponto aberto em 0, com uma linha que se estende até o infinito positivo, e um ponto aberto em -2, com uma linha que se estende para o infinito negativo. Essas soluções apontam uma para a outra, não uma para a outra, portanto, pegue cada peça separadamente.
Para x> 0 em uma linha numérica, há um ponto aberto em zero e, em seguida, uma linha que se estende até o infinito. Na notação de intervalo, um ponto aberto é ilustrado com parênteses, (), e um ponto fechado, ou desigualdades com ≥ ou ≤, usariam colchetes,. Então para x > 0, escreva (0, ∞).
A outra metade, x <−2, em uma linha numérica há um ponto aberto em −2 e, em seguida, uma seta que se estende até ∞. Na notação de intervalo, isso é (−∞, −2).
"Ou" na notação de intervalo é o sinal de união, ∪.
Portanto, a solução na notação de intervalo é (−∞, −2) ∪ (0, ∞).