Como encontrar as raízes de um polinômio

Contente

• Quantas raízes?
• Advertências
• Encontre raízes por fatoração: Exemplo 1
• Encontre raízes por fatoração: Exemplo 2
• Encontre raízes por gráficos

As raízes de um polinômio também são chamadas de zeros, porque as raízes são as x valores nos quais a função é igual a zero. Quando se trata de encontrar as raízes, você tem várias técnicas à sua disposição; fatoração é o método que você usará com mais frequência, embora os gráficos também possam ser úteis.

Quantas raízes?

Examine o termo de mais alto grau do polinômio - ou seja, o termo com o expoente mais alto. Esse expoente é quantas raízes o polinômio terá. Portanto, se o maior expoente no seu polinômio for 2, ele terá duas raízes; se o expoente mais alto for 3, ele terá três raízes; e assim por diante.

Advertências

Encontre raízes por fatoração: Exemplo 1

A maneira mais versátil de encontrar raízes é fatorar seu polinômio o máximo possível e, em seguida, definir cada termo igual a zero. Isso faz muito mais sentido depois de seguir alguns exemplos. Considere o polinômio simples x² - 4_x: _

Um breve exame mostra que você pode levar em consideração x dos dois termos do polinômio, que fornece:

x(x – 4)

Defina cada termo como zero. Isso significa resolver para duas equações:

x = 0 é o primeiro termo definido como zero e

x - 4 = 0 é o segundo termo definido como zero.

Você já tem a solução para o primeiro mandato. E se x = 0, então a expressão inteira é igual a zero. assim x = 0 é uma das raízes ou zeros do polinômio.

Agora, considere o segundo termo e resolva para x. Se você adicionar 4 a ambos os lados, terá:

x - 4 + 4 = 0 + 4, o que simplifica para:

x = 4. Então, se x = 4, o segundo fator é igual a zero, o que significa que todo o polinômio também é igual a zero.

Como o polinômio original era do segundo grau (o expoente mais alto era dois), você sabe que existem apenas duas raízes possíveis para esse polinômio. Você já encontrou os dois, então tudo o que você precisa fazer é listá-los:

x = 0, x = 4

Encontre raízes por fatoração: Exemplo 2

Aqui está mais um exemplo de como encontrar raízes fatorando, usando alguma álgebra sofisticada ao longo do caminho. Considere o polinômio x⁴ - 16. Uma rápida olhada em seus expoentes mostra que deve haver quatro raízes para esse polinômio; agora é hora de encontrá-los.

Você notou que esse polinômio pode ser reescrito como a diferença de quadrados? Então, ao invés de x⁴ - 16, você tem:

(x²)² – 4²

Que, usando a fórmula da diferença de quadrados, leva ao seguinte:

(x² – 4)(x² + 4)

O primeiro termo é, novamente, uma diferença de quadrados. Portanto, embora você não possa mais fatorar o termo à direita, você pode fatorar o termo à esquerda um passo mais:

(x – 2)(x + 2)(x² + 4)

Agora é hora de encontrar os zeros. Torna-se rapidamente claro que se x = 2, o primeiro fator será igual a zero e, portanto, toda a expressão será igual a zero.

Da mesma forma, se x = -2, o segundo fator será igual a zero e, assim, toda a expressão.

assim x = 2 e x = -2 são ambos zeros ou raízes deste polinômio.

Mas e o último mandato? Por ter um expoente "2", ele deve ter duas raízes. Mas você não pode fatorar essa expressão usando os números reais aos quais está acostumado. Você precisaria usar um conceito matemático muito avançado chamado números imaginários ou, se preferir, números complexos. Isso está muito além do escopo da sua prática atual de matemática, portanto, por enquanto, basta observar que você tem duas raízes reais (2 e -2) e duas raízes imaginárias que você deixará indefinidas.

Encontre raízes por gráficos

Você também pode encontrar, ou pelo menos estimar, raízes por meio de gráficos. Toda raiz representa um ponto onde o gráfico da função cruza o x eixo. Portanto, se você traçar a linha e observar o x coordena onde a linha cruza o x eixo, você pode inserir o valor estimado x valores desses pontos em sua equação e verifique se você os acertou.

Considere o primeiro exemplo que você trabalhou, para o polinômio x² - 4_x_. Se você desenhá-lo com cuidado, verá que a linha cruza o x eixo em x = 0 e x = 4. Se você inserir cada um desses valores na equação original, obterá:

0² - 4 (0) = 0, então x = 0 era um zero ou raiz válido para este polinômio.

4² - 4 (4) = 0, então x = 4 também é um zero ou raiz válido para esse polinômio. E como o polinômio era de grau 2, você sabe que pode parar de cuidar de encontrar duas raízes.