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Uma distribuição binomial descreve uma variável X se 1) existe um número fixo n observações da variável; 2) todas as observações são independentes uma da outra; 3) a probabilidade de sucesso p é o mesmo para cada observação; e 4) cada observação representa um dos exatamente dois resultados possíveis (daí a palavra "binomial" - pense em "binário"). Essa última qualificação distingue distribuições binomiais das distribuições de Poisson, que variam continuamente e não discretamente.
Essa distribuição pode ser escrita B (n, p).
Cálculo da probabilidade de uma determinada observação
Digamos que um valor k esteja em algum lugar ao longo do gráfico da distribuição binomial, que é simétrica em relação à média np. Para calcular a probabilidade de uma observação ter esse valor, esta equação deve ser resolvida:
P (X = k) = (n: k) pk(1-p)(n-k)
onde (n: k) = (n!) ÷ (k!) (n - k)!
O "!" significa uma função fatorial, por exemplo, 27! = 27 x 26 x 25 x ... x 3 x 2 x 1.
Exemplo
Digamos que um jogador de basquete faça 24 lances livres e tenha uma taxa de sucesso estabelecida de 75% (p = 0,75). Quais são as chances de ela acertar exatamente 20 de seus 24 tiros?
Primeiro calcule (n: k) da seguinte maneira:
(n!) ÷ (k!) (n - k)! = 24! ÷ (20!) (4!) = 10.626
pk = (0.75)20 = 0.00317
(1-p) (n-k) = (0.25)4 = 0.00390
Assim, P (20) = (10.626) (0,00317) (0,00390) = 0,1314.
Portanto, este jogador tem 13,1% de chance de fazer exatamente 20 dos 24 lances livres, de acordo com o que a intuição pode sugerir sobre um jogador que normalmente acertaria 18 dos 24 lances livres (por causa de sua taxa de sucesso estabelecida em 75%).