A fatoração de polinômios com coeficientes fracionários é mais complicada do que a fatoração com coeficientes de número inteiro, mas é possível transformar facilmente cada coeficiente fracionário do polinômio em um coeficiente de número inteiro sem alterar o polinômio geral. Simplesmente encontre um denominador comum para todas as frações e multiplique todo o polinômio por esse número. Isso permitirá que você cancele o denominador em cada fração, deixando apenas coeficientes de número inteiro. Você pode fatorá-lo usando procedimentos normais de fatoração.
Encontre a fatoração primária do denominador de cada um dos seus coeficientes fracionários. A fatoração primária de um número é o conjunto exclusivo de números primos que, quando multiplicados juntos, igualam o número. Por exemplo, a fatoração primária de 24 é 2_2_2_3 (não 2_3_4 ou 8_3 porque 4 e 8 não são primos). Uma maneira fácil de encontrar a fatoração primária é dividir repetidamente o número em fatores até que você tenha apenas números primos: 24 = 4_6 = (2_2) * (2_3) = 2_2_2_3.
Desenhe um diagrama de Venn representando cada um dos seus denominadores. Por exemplo, se você tivesse três denominadores, desenharia três círculos, cada um sobrepondo-se levemente ao outro e todos os três sobrepostos no centro (consulte Recursos: Diagrama de Venn para uma figura). Rotule os círculos como "1", "2" etc., com base na ordem das frações no polinômio.
Coloque os fatores primos no diagrama de Venn de acordo com os denominadores. Por exemplo, se seus três denominadores forem 8, 30 e 10, o primeiro possui uma fatoração primária de (2_2_2), o segundo possui (2_3_5) e o terceiro possui (2 * 5). Você colocaria "2" no centro, porque os três denominadores compartilham o fator 2. Você colocaria um "5" na sobreposição entre o círculo 2 e o círculo 3 porque o segundo e o terceiro denominadores compartilham esse fator. Finalmente, você colocaria "2" duas vezes na área do círculo 1 sem sobreposição e um "3" na área do círculo 2 sem sobreposição, porque esses fatores não são compartilhados por nenhum outro denominador.
Multiplique todos os números do seu diagrama de Venn para encontrar o menor denominador comum dos seus coeficientes fracionários. No exemplo acima, você multiplicaria 2 vezes 5 vezes 2 vezes 2 vezes 3 para obter 120, que é o menor denominador comum de 8, 30 e 10.
Multiplique todo o polinômio pelo denominador comum, distribuindo-o para cada coeficiente fracionário. Você poderá cancelar o denominador em cada coeficiente, deixando apenas números inteiros. Por exemplo: 120 (1 / 8_x ^ 2 + 7 / 30_x + 3/10) = 15x ^ 2 + 28x + 36.
Escreva dois conjuntos de parênteses, com o primeiro termo de ambos os conjuntos um fator do coeficiente inicial. Por exemplo, 15x ^ 2 fatores para 3x e 5x: (3x ....) (5x ....).
Encontre dois números que se multiplicam para igualar sua constante do polinômio. Por exemplo, 6 vezes 6 ou 9 vezes 4 é igual a 36. Conecte-os entre parênteses e veja se eles funcionam: (3x + 6) (5x +6); (3x + 9) (5x + 4); (3x + 4) (5x + 9).Verifique seu resultado usando FOIL para expandir novamente seu polinômio: (3x + 4) (5x + 9) = 15x ^ 2 + 27x + 20x +36 = 15x ^ 2 + 47x + 36, que não é o mesmo que o original polinomial.
Continue inserindo números diferentes até que o resultado corresponda ao polinômio original ao ser expandido novamente. Pode ser necessário alterar os primeiros termos para diferentes fatores do coeficiente inicial.
Divida seu polinômio fatorado pelo denominador comum da Etapa 4 para cancelar a alteração feita multiplicando na Etapa 5.