Como encontrar uma equação exponencial com dois pontos

Contente

• Por que as funções exponenciais são importantes
• De um par de pontos a um gráfico
• Um ponto no eixo X
• Nenhum ponto no eixo X
• Um exemplo do mundo real

Se você conhece dois pontos que caem em uma curva exponencial específica, é possível definir a curva resolvendo a função exponencial geral usando esses pontos. Na prática, isso significa substituir os pontos por yex na equação y = ab^x. O procedimento é mais fácil se o valor x de um dos pontos for 0, o que significa que o ponto está no eixo y. Se nenhum dos pontos tem um valor x zero, o processo para resolver xey é um pouco mais complicado.

Por que as funções exponenciais são importantes

Muitos sistemas importantes seguem padrões exponenciais de crescimento e decadência. Por exemplo, o número de bactérias em uma colônia geralmente aumenta exponencialmente, e a radiação ambiente na atmosfera após um evento nuclear geralmente diminui exponencialmente. Ao coletar dados e traçar uma curva, os cientistas estão em uma posição melhor para fazer previsões.

De um par de pontos a um gráfico

Qualquer ponto em um gráfico bidimensional pode ser representado por dois números, que geralmente são escritos no formato (x, y), em que x define a distância horizontal da origem e y representa a distância vertical. Por exemplo, o ponto (2, 3) é duas unidades à direita do eixo y e três unidades acima do eixo x. Por outro lado, o ponto (-2, -3) é duas unidades à esquerda do eixo y. e três unidades abaixo do eixo x.

Se você tiver dois pontos, (x₁y₁) e (x₂y₂), você pode definir a função exponencial que passa por esses pontos substituindo-os na equação y = ab^x e resolvendo para a e b. Em geral, você deve resolver este par de equações:

y₁ = ab^x1 e y₂ = ab^x2, .

Nesta forma, a matemática parece um pouco complicada, mas parece menos depois que você fez alguns exemplos.

Um ponto no eixo X

Se um dos valores x - diga x₁ - é 0, a operação se torna muito simples. Por exemplo, resolver a equação para os pontos (0, 2) e (2, 4) produz:

2 = ab⁰ e 4 = ab². Desde que sabemos que b⁰ = 1, a primeira equação se torna 2 = a. Substituindo a na segunda equação produz 4 = 2b², que simplificamos para b² = 2 ou b = raiz quadrada de 2, o que equivale a aproximadamente 1,41. A função de definição é então y = 2 (1,41)^x.

Nenhum ponto no eixo X

Se nenhum valor x for zero, resolver o par de equações é um pouco mais complicado. Henochmath nos mostra um exemplo fácil para esclarecer esse procedimento. Em seu exemplo, ele escolheu o par de pontos (2, 3) e (4, 27). Isso produz o seguinte par de equações:

27 = ab⁴

3 = ab²

Se você dividir a primeira equação pelo segundo, obtém

9 = b²

então b = 3. É possível que b também seja igual a -3, mas, neste caso, assuma seu positivo.

Você pode substituir esse valor por b em qualquer equação para obter a. É mais fácil usar a segunda equação, então:

3 = a (3)² que pode ser simplificado para 3 = a9, a = 3/9 ou 1/3.

A equação que passa por esses pontos pode ser escrita como y = 1/3 (3)^x.

Um exemplo do mundo real

Desde 1910, o crescimento da população humana tem sido exponencial e, ao traçar uma curva de crescimento, os cientistas estão em uma posição melhor para prever e planejar o futuro. Em 1910, a população mundial era de 1,75 bilhão e, em 2010, era de 6,87 bilhões. Tomando 1910 como ponto de partida, isso fornece o par de pontos (0, 1,75) e (100, 6,87). Como o valor x do primeiro ponto é zero, podemos encontrar facilmente a.

1,75 = ab⁰ ou a = 1,75. A inserção desse valor, juntamente com o do segundo ponto, na equação exponencial geral produz 6,87 = 1,75b¹⁰⁰, que fornece o valor de b como a centésima raiz de 6,87 / 1,75 ou 3,93. Então a equação se torna y = 1,75 (centésima raiz de 3,93)^x. Embora seja necessário mais do que uma regra para fazê-lo, os cientistas podem usar essa equação para projetar futuros números populacionais para ajudar os políticos no presente a criar políticas apropriadas.