Como derivar uma função de utilitário

Contente

• Utilitário: Conceitos
• Base para Equações de Funções de Utilidade
• Exemplos de funções utilitárias
• Calculadora de Função Utilitária

Em economia, um função útil representa um somatório de agentes individuais (ou seja, pessoas) formais preferências. Presume-se que essas preferências, em qualquer indivíduo, sigam determinadas regras. Por exemplo, uma dessas regras é que, dado um conjunto de objetos xey, uma das duas afirmações "x é pelo menos tão bom quanto y" e "y é pelo menos tão bom quanto x" deve ser verdadeira nesse caso.

O idioma das preferências, traduzido em símbolos, fica assim:

Relações entre utilidade, preferências e outras variáveis ​​podem ser usadas para derivar funções de utilidade e outras equações úteis na área de tomada de decisão.

Utilitário: Conceitos

Os economistas estão interessados ​​na utilidade, pois oferece uma estrutura matemática sobre a qual modelar a probabilidade das pessoas de fazer certas escolhas. Obviamente, o objetivo de qualquer campanha de marketing é aumentar as vendas de um produto. Mas se as vendas de produtos aumentam ou diminuem, é importante entender causa e efeito, em vez de simplesmente observar uma correlação.

As preferências têm a propriedade de transitividade. Isso significa que, se x é pelo menos tão preferido quanto y, e y é pelo menos tão preferido quanto z, então x é pelo menos tão preferido quanto z:

x ≥ y e y ≥ z → x ≥ z.

Embora pareça trivial, eles também têm a propriedade de reflexividade, o que significa que qualquer grupo de objetos x é sempre pelo menos tão preferido quanto ele:

x ≥ x.

Base para Equações de Funções de Utilidade

Nem todas as relações de preferência podem ser expressas como uma função de utilidade. Mas se uma relação de preferência é transitiva, reflexiva e contínua, pode ser expressa como função de utilidade contínua. Continuidade aqui significa que pequenas alterações no conjunto de objetos não alteram muito o nível de preferência geral.

Uma função de utilidade U (x) representa uma relação de preferência verdadeira se, e somente se, as relações de preferência e utilidade forem as mesmas para todos os x no conjunto. Isso é, deve ser verdade que se x₁≥ x₂, então U (x1) ≥ U (x2); este se x₁ ≤ x₂, então U (x₁) ≤ U (x₂); e essa se x₁ ~ x₂, então U (x₁) ~ U (x₂).

Observe também que o utilitário é ordinal, não multiplicativo. Ou seja, é baseado na classificação. Isso significa que se U (x) = 8 e U (y) = 4, x é estritamente preferido para y, porque 8 é sempre maior que 4. Mas não é "duas vezes mais preferido" em nenhum sentido matemático.

Exemplos de funções utilitárias

Qualquer função de utilitário que tenha o formato

U (x₁, x₂) = f (x₁) + x₂

tem um componente "regular" que geralmente é de natureza exponencial (x₁) e outro que é simplesmente linear (x₂) É assim chamado de função utilidade quase-linear.

Da mesma forma, qualquer função utilitária que tenha a forma

U (x₁, x₂) = x₁^umax₂^b

onde aeb são constantes maiores que zero é chamado de Função Cobb-Douglas. Essas curvas são hiperbólicas, o que significa que elas se aproximam do eixo x e do eixo y em um gráfico, mas sem tocar em nenhuma delas, e são convexas (curvadas para fora) na direção da origem (0, 0).

Calculadora de Função Utilitária

As calculadoras de maximização de utilitário on-line estão disponíveis para encontrar qualquer gráfico de maximização de utilitário, desde que você tenha os dados brutos disponíveis. Consulte Recursos para um exemplo.