Se você pegasse um quadrado e desenhasse duas linhas diagonais, elas cruzariam no centro e formariam quatro triângulos retângulos. As duas diagonais se cruzam a 90 graus. Você pode adivinhar intuitivamente que duas diagonais de um cubo, cada uma correndo de um canto do cubo até o canto oposto e cruzando no centro, também cruzariam em ângulos retos. Você estaria enganado. Determinar o ângulo em que duas diagonais em um cubo se cruzam é um pouco mais complicado do que parece à primeira vista, mas é uma boa prática para entender os princípios da geometria e da trigonometria.
Defina o comprimento de uma aresta como uma unidade. Por definição, cada aresta no cubo tem um comprimento idêntico de uma unidade.
Use o teorema de Pitágoras para determinar o comprimento de uma diagonal que vai de um canto ao canto oposto na mesma face. Chame isso de "diagonal curta" por uma questão de clareza. Cada lado do triângulo retângulo formado é uma unidade, portanto a diagonal deve ser igual a √2.
Use o teorema de Pitágoras para determinar o comprimento de uma diagonal que vai de um canto ao canto oposto da face oposta. Chame isso de “diagonal longa”. Você tem um triângulo retângulo com um lado igual a 1 unidade e um lado igual a uma “diagonal curta”, √2 unidades. O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos lados, portanto a hipotenusa deve ser √3. Cada diagonal que vai de um canto do cubo ao canto oposto tem √3 unidades de comprimento.
Desenhe um retângulo para representar duas diagonais longas cruzando no centro do cubo. Você deseja encontrar o ângulo de sua interseção. Esse retângulo terá 1 unidade de altura e √2 unidades de largura. As diagonais longas se dividem no centro desse retângulo e formam dois tipos diferentes de triângulo. Um desses triângulos tem um lado igual a uma unidade e os outros dois lados iguais a √3 / 2 (metade do comprimento de uma diagonal longa). O outro também tem dois lados iguais a √3 / 2, mas o outro lado é igual a √2. Você só precisa analisar um dos triângulos, então pegue o primeiro e resolva o ângulo desconhecido.
Use a fórmula trigonométrica c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos C para resolver o ângulo desconhecido deste triângulo. C = 1, e ambos a e b são iguais a √3 / 2. Ao inserir esses valores na equação, você determinará que o cosseno de seu ângulo desconhecido é 1/3. Tomando o cosseno inverso de 1/3, obtém um ângulo de 70,5 graus.