Como simplificar números complexos

Contente

• TL; DR (muito longo; não leu)
• O que é um número complexo?
• Regras básicas para álgebra com números complexos
• Divisão de números complexos
• Simplificando números complexos

A álgebra geralmente envolve expressões simplificadoras, mas algumas são mais confusas de lidar do que outras. Números complexos envolvem a quantidade conhecida como Eu, um número "imaginário" com a propriedade Eu = √ − 1. Se você precisar simplesmente de uma expressão que envolva um número complexo, pode parecer assustador, mas é um processo bastante simples depois de aprender as regras básicas.

TL; DR (muito longo; não leu)

Simplifique números complexos seguindo as regras da álgebra com números complexos.

O que é um número complexo?

Números complexos são definidos pela inclusão dos Eu termo, que é a raiz quadrada de menos um. Na matemática de nível básico, raízes quadradas de números negativos realmente não existem, mas ocasionalmente aparecem em problemas de álgebra. A forma geral para um número complexo mostra sua estrutura:

z = uma + bi

Onde z rotula o número complexo, uma representa qualquer número (chamado parte "real") e b representa outro número (chamado parte "imaginária"), que pode ser positivo ou negativo. Portanto, um número complexo de exemplo é:

z = 2 −4_i_

Como todas as raízes quadradas de números negativos podem ser representadas por múltiplos de Eu, este é o formulário para todos os números complexos. Tecnicamente, um número regular apenas descreve um caso especial de um número complexo em que b = 0, então todos os números podem ser considerados complexos.

Regras básicas para álgebra com números complexos

Para adicionar e subtrair números complexos, basta adicionar ou subtrair as partes reais e imaginárias separadamente. Então, para números complexos z = 2 - 4_i_ e W = 3 + 5_i_, a soma é:

z + W = (2-4_i_) + (3 + 5_i_)

=(2 + 3) + (−4 + 5)Eu

= 5 + 1_i_ = 5 + Eu

Subtrair os números funciona da mesma maneira:

z − W = (2-4_i_) - (3 + 5_i_)

= (2 − 3) + (−4 − 5)Eu

= −1 - 9_i_

Multiplicação é outra operação simples com números complexos, porque funciona como multiplicação comum, exceto que você precisa se lembrar que Eu² = -1. Então, para calcular 3_i_ × −4_i_:

3_i_ × −4_i_ = −12_i_²

Mas desde Eu²= −1, então:

−12_i_² = −12 ×−1 = 12

Com números complexos completos (usando z = 2 - 4_i_ e W = 3 + 5_i_ novamente), você os multiplica da mesma maneira que faria com números comuns como (uma + b) (c + d), usando o método “primeiro, interno, externo, último” (FOIL), para fornecer (uma + b) (c + d) = ac + bc + de Anúncios + bd. Tudo o que você precisa se lembrar é simplificar quaisquer instâncias de Eu². Então, por exemplo:

z × W = (2-4_i _) (3 + 5_i_)

= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_²

= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_

Divisão de números complexos

Dividir números complexos envolve multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado complexo do denominador. O conjugado complexo significa apenas a versão do número complexo com a parte imaginária invertida no sinal. Então para z = 2 - 4_i_, o conjugado complexo z = 2 + 4_i_ e para W = 3 + 5_i_, W = 3 −5_i_. Para o problema:

z / W = (2-4_i_) / (3 + 5_i_)

O conjugado necessário é W* Divida o numerador e o denominador por este para fornecer:

z / W = (2-4_i_) (3 −5_i_) / (3 + 5_i _) (3-5_i_)

E então você trabalha como na seção anterior. O numerador fornece:

(2 - 4_i_) (3 −5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_²

= −14 - 22_i_

E o denominador fornece:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_²

= 9 + 25 = 34

Isso significa:

z / W = (−14 - 22_i_) / 34

= −14/34 - 22_i_ / 34

= −7/17 - 11_i_ / 17

Simplificando números complexos

Use as regras acima, conforme necessário, para simplificar expressões complexas. Por exemplo:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - Eu)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ Eu))

Isso pode ser simplificado usando a regra de adição no numerador, a regra de multiplicação no denominador e concluindo a divisão. Para o numerador:

(4 + 2_i_) + (2 - Eu) = 6 + Eu

Para o denominador:

(2 + 2_i _) (2+ Eu) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_²

= (4-2) + 6_i_

= 2 + 6_i_

Colocá-los de volta no lugar fornece:

z = (6 + Eu) / (2 + 6_i_)

A multiplicação de ambas as partes pelo conjugado do denominador leva a:

z = (6 + Eu) (2-6_i_) / (2 + 6_i_) (2-6_i_)

= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_²) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_²)

= (18-34_i_) / 40

= (9-17_i_) / 20

= 20/20 −17_i_ / 20

Então isso significa z simplifica da seguinte maneira:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - Eu)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ Eu)) = 20/9 −17_i_ / 20