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Conhecendo dois pontos em uma linha, (x1y1) e (x2y2), permite calcular a inclinação da reta (m), porque é a razão ∆y / ∆x: m = (y2 - y1) / (x2 - x1) Se a linha cruzar o eixo y em b, formando um dos pontos (0, b), a definição de inclinação produzirá a forma de interceptação de inclinação da linha y = mx + b. Quando a equação da linha está nesta forma, você pode ler a inclinação diretamente a partir dela, e isso permite determinar imediatamente a inclinação de uma linha perpendicular a ela, porque é o recíproco negativo.
TL; DR (muito longo; não leu)
A inclinação de uma linha perpendicular a uma determinada linha é a recíproca negativa da inclinação da linha especificada. Se a linha dada tiver a inclinação m, a inclinação de uma linha perpendicular é -1 / m.
Procedimento para determinar a inclinação perpendicular
Por definição, a inclinação da linha perpendicular é a recíproca negativa da inclinação da linha original. Desde que você possa converter uma equação linear em forma de interceptação de inclinação, você pode facilmente determinar a inclinação da linha e, como a inclinação de uma linha perpendicular é a recíproca negativa, você também pode determinar isso.
Sua equação pode ter termos xey em ambos os lados do sinal de igual. Colete-os no lado esquerdo da equação e deixe todos os termos constantes no lado direito. A equação deve ter a forma Ax + By = C, onde A, B e C são constantes.
A forma da equação é Ax + By = C, então subtraia Ax de ambos os lados e divida ambos os lados por B. Você obtém: y = - (A / B) x + C / B. Esta é a forma de interceptação de declive. A inclinação da linha é - (A / B).
A inclinação da linha é - (A / B), então o recíproco negativo é B / A. Se você conhece a equação da linha na forma padrão, basta dividir o coeficiente do termo y pelo coeficiente do termo x para encontrar a inclinação de uma linha perpendicular.
Lembre-se de que há um número infinito de linhas com inclinação perpendicular a uma determinada linha. Se você deseja a equação de uma determinada, precisa conhecer as coordenadas de pelo menos um ponto na linha.
Exemplos
1. Qual é a inclinação de uma reta perpendicular à reta definida por 3x + 2y = 15y - 32?
Para converter essa equação em padrão de, subtraia 15y de ambos os lados: 3x + (2y - 15y) = (15y - 15y) - 32. Após executar a subtração, você obtém
3x -13y = -32.
Essa equação tem a forma Ax + Por = C. A inclinação de uma reta perpendicular é B / A = -13/3.
2. Qual é a equação da reta perpendicular a 5x + 7y = 4 e passando pelo ponto (2,4)?
Comece convertendo a equação para a forma de interceptação em inclinação: y = mx + b. Para fazer isso, subtraia 5x de ambos os lados e divida os dois por 7:
y = -5 / 7x + 4/7.
A inclinação dessa linha é -5/7, portanto, a inclinação de uma linha perpendicular deve ser 7/5.
Agora use o ponto que você conhece para encontrar a interceptação em y, b. Como y = 4 quando x = 2, você obtém
4 = 7/5 (2) + b
4 = 14/5 + b ou 20/5 = 14/5 + b
b = (20-14) / 5 = 6/5
A equação da reta é então y = 7/5 x + 6/5. Simplifique multiplicando ambos os lados por 5, colete os termos xey no lado direito e você obtém:
-7x + 5y = 6