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Depois que você começa a resolver equações algébricas que envolvem polinômios, a capacidade de reconhecer formas especiais e facilmente fatoradas de polinômios se torna muito útil. Um dos polinômios de "fator fácil" mais úteis para identificar é o quadrado perfeito, ou o trinômio que resulta da quadratura de um binômio. Depois de identificar um quadrado perfeito, fatorá-lo em seus componentes individuais geralmente é uma parte vital do processo de solução de problemas.
Identificando Trinomiais Quadrados Perfeitos
Antes que você possa fatorar um trinômio quadrado perfeito, você precisa aprender a reconhecê-lo. Um quadrado perfeito pode assumir uma das duas formas:
Alguns exemplos de quadrados perfeitos que você pode ver no "mundo real" dos problemas de matemática incluem:
Qual é a chave para reconhecer esses quadrados perfeitos?
Verifique o primeiro e o terceiro termos do trinômio. Ambos são quadrados? Se sim, descubra de que são os quadrados. Por exemplo, no segundo exemplo do "mundo real" dado acima, y2 - 2_y_ + 1, o termo y2 é obviamente o quadrado de y O termo 1 é, talvez menos obviamente, o quadrado de 1, porque 12 = 1.
Multiplique as raízes do primeiro e terceiro termos juntos. Para continuar o exemplo, isso é y e 1, o que lhe dá y × 1 = 1_y_ ou simplesmente y.
Em seguida, multiplique seu produto por 2. Continuando o exemplo, você tem 2_y._
Por fim, compare o resultado da última etapa com o termo do meio do polinômio. Eles combinam? No polinômio y2 - 2_y_ + 1, eles fazem. (O sinal é irrelevante; também seria uma correspondência se o meio termo fosse + 2_y_.)
Como a resposta na Etapa 1 foi "sim" e o resultado da Etapa 2 corresponde ao meio termo do polinômio, você sabe que está procurando um trinomial quadrado perfeito.
Faturando um Trinomial Quadrado Perfeito
Depois que você souber que está olhando para um trinômio quadrado perfeito, o processo de fatorar é bastante direto.
Identifique as raízes ou os números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos do trinômio. Considere outro exemplo de trinômio que você já sabe que é um quadrado perfeito, x2 + 8_x_ + 16. Obviamente, o número ao quadrado no primeiro termo é x. O número que está sendo elevado ao quadrado no terceiro termo é 4, porque 42 = 16.
Pense novamente nas fórmulas para obter trinômios quadrados perfeitos. Você sabe que seus fatores assumirão a forma (uma + b)(uma + b) ou o formulário (uma – b)(uma – b), Onde uma e b são os números ao quadrado no primeiro e terceiro termos. Assim, você pode escrever seus fatores assim, omitindo os sinais no meio de cada termo por enquanto:
(uma ? b)(uma ? b) = uma2 ? 2_ab_ + b2
Para continuar o exemplo substituindo as raízes do seu trinômio atual, você tem:
(x ? 4)(x ? 4) = x2 + 8_x_ + 16
Verifique o termo do meio do trinômio. Tem um sinal positivo ou negativo (ou, em outras palavras, está sendo adicionado ou subtraído)? Se tiver um sinal positivo (ou estiver sendo adicionado), os dois fatores do trinômio terão um sinal de mais no meio. Se tiver um sinal negativo (ou estiver sendo subtraído), ambos os fatores terão um sinal negativo no meio.
O termo do meio do exemplo atual trinomial é 8_x_ - seu positivo - então você já considerou o trinomial quadrado perfeito:
(x + 4)(x + 4) = x2 + 8_x_ + 16
Verifique seu trabalho multiplicando os dois fatores juntos. A aplicação do método FOIL ou primeiro, externo, interno e último fornece:
x2 + 4_x_ + 4_x_ + 16
Simplificar isso dá o resultado x2 + 8_x_ + 16, que corresponde ao seu trinomial. Portanto, os fatores estão corretos.