Como calcular valores próprios

Contente

• Matrizes, valores próprios e vetores próprios: o que eles significam
• Como calcular valores próprios
• Dicas
• Localizando vetores próprios

Quando você é apresentado a uma matriz em uma aula de matemática ou física, muitas vezes é solicitado que você encontre seus valores próprios. Se você não tem certeza do que isso significa ou como fazê-lo, a tarefa é assustadora e envolve muitas terminologias confusas que tornam as coisas ainda piores. No entanto, o processo de calcular valores próprios não é muito desafiador se você se sentir confortável em resolver equações quadráticas (ou polinomiais), desde que você aprenda o básico de matrizes, valores próprios e vetores próprios.

Matrizes, valores próprios e vetores próprios: o que eles significam

Matrizes são matrizes de números em que A representa o nome de uma matriz genérica, assim:

( 1 3 )

UMA = ( 4 2 )

Os números em cada posição variam, e pode até haver expressões algébricas em seu lugar. Essa é uma matriz 2 × 2, mas elas possuem vários tamanhos e nem sempre têm números iguais de linhas e colunas.

Lidar com matrizes é diferente de lidar com números comuns, e existem regras específicas para multiplicar, dividir, adicionar e subtrair uma da outra. Os termos “autovalor” e “autovetor” são usados ​​na álgebra da matriz para se referir a duas grandezas características em relação à matriz. Esse problema de autovalor ajuda a entender o que o termo significa:

UMA ∙ v = λ ∙ v

UMA é uma matriz geral como antes, v é algum vetor e λ é um valor característico. Observe a equação e observe que quando você multiplica a matriz pelo vetor v, o efeito é reproduzir o mesmo vetor apenas multiplicado pelo valor λ. Esse é um comportamento incomum e ganha o vetor v e quantidade λ nomes especiais: o autovetor e o autovalor. Esses são valores característicos da matriz porque a multiplicação da matriz pelo vetor próprio deixa o vetor inalterado, além da multiplicação por um fator do valor próprio.

Como calcular valores próprios

Se você tiver o problema de autovalor da matriz de alguma forma, é fácil encontrar o autovalor (porque o resultado será um vetor igual ao original, exceto multiplicado por um fator constante - o autovalor). A resposta é encontrada resolvendo a equação característica da matriz:

det (UMA – λEu) = 0

Onde Eu é a matriz de identidade, que está em branco além de uma série de 1s correndo na diagonal pela matriz. "Det" refere-se ao determinante da matriz, que para uma matriz geral:

(b)

UMA = (c d)

É dado por

det UMA = ad –bc

Portanto, a equação característica significa:

(a - λ b)

det (UMA – λEu) = (c d - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

Como exemplo de matriz, vamos definir UMA Como:

( 0 1 )

UMA = (−2 −3 )

Então, isso significa:

det (UMA – λEu) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0

= −λ (−3 – λ) + 2

= λ² + 3 λ + 2 = 0

As soluções para λ são os autovalores e você resolve isso como qualquer equação quadrática. As soluções são λ = - 1 e λ = - 2.

Dicas

Localizando vetores próprios

Encontrar os vetores próprios é um processo semelhante. Usando a equação:

(UMA – λ) ∙ v = 0

com cada um dos valores próprios que você encontrou por sua vez. Isso significa:

(a - λ b) (v₁ ) (a - λ) v₁ + b v₂ (0)

(UMA – λ) ∙ v = (c d - λ) ∙ (v₂ ) = c v₁ + (d - λ) v₂ = (0)

Você pode resolver isso considerando cada linha por vez. Você só precisa da proporção de v₁ para v₂, porque haverá infinitas soluções em potencial para v₁ e v₂.