Expoentes Fracionários: Regras para Multiplicar e Dividir

Contente

• TL; DR (muito longo; não leu)
• O que são expoentes fracionários?
• Regras para expoentes de frações: multiplicando expoentes fracionários com a mesma base
• Regras para expoentes de frações: dividindo expoentes fracionários com a mesma base
• Multiplicando e dividindo expoentes fracionários em diferentes bases

Aprender a lidar com expoentes faz parte integrante de qualquer ensino de matemática, mas, felizmente, as regras para multiplicá-los e dividi-los correspondem às regras para expoentes não fracionários. O primeiro passo para entender como lidar com expoentes fracionários é obter um resumo do que exatamente eles são e, em seguida, você pode ver como você pode combinar expoentes quando eles são multiplicados ou divididos e têm a mesma base. Em resumo, você adiciona os expoentes ao multiplicar e subtrai um ao outro ao dividir, desde que tenham a mesma base.

TL; DR (muito longo; não leu)

Multiplique termos com expoentes usando a regra geral:

x^uma + x^b = x^{(uma + b)}

E divida os termos com expoentes usando a regra:

x^uma ÷ x^b = x^{(uma – b)}

Essas regras funcionam com qualquer expressão no lugar de uma e b, mesmo frações.

O que são expoentes fracionários?

Os expoentes fracionários fornecem uma maneira compacta e útil de expressar raízes quadradas, cubas e superiores. O denominador no expoente informa qual raiz do número "base" o termo representa. Em um termo como x^uma, você chama x a base e uma o expoente. Portanto, um expoente fracionário diz a você:

x^1/2 = √x

O denominador de dois no expoente informa que você está usando a raiz quadrada de x nesta expressão. A mesma regra básica se aplica às raízes mais altas:

x^1/3 = ∛x

E

x^1/4 = ⁴√x

Esse padrão continua. Para um exemplo concreto:

9^1/2 = √9 = 3

E

8^1/3 = ∛8 = 2

Regras para expoentes de frações: multiplicando expoentes fracionários com a mesma base

Multiplique os termos com expoentes fracionários (desde que tenham a mesma base) adicionando os expoentes. Por exemplo:

x^1/3 × x^1/3 × x^1/3 = x ^{(1/3 + 1/3 + 1/3)}

= x¹ = x

Desde a x^1/3 significa "a raiz do cubo de x, "Faz todo o sentido que isso multiplicado por si só duas vezes dê o resultado x. Você também pode encontrar exemplos como x^1/3 × x^1/3, mas você lida com isso exatamente da mesma maneira:

x^1/3 × x^1/3 = x ^{(1/3 + 1/3)}

= x^2/3

O fato de a expressão no final ainda ser um expoente fracionário não faz diferença no processo. Isso pode ser simplificado se você observar que x^2/3 = (x^1/3)² = ∛x². Com uma expressão como essa, não importa se você cria a raiz ou o poder primeiro. Este exemplo ilustra como calcular estes:

8^1/3 + 8^1/3 = 8^2/3

= ∛8²

Como a raiz do cubo 8 é fácil de resolver, faça o seguinte:

∛8² = 2² = 4

Então isso significa:

8^1/3 + 8^1/3 = 4

Você também pode encontrar produtos de expoentes fracionários com números diferentes nos denominadores das frações e pode adicionar esses expoentes da mesma maneira que adicionaria outras frações. Por exemplo:

x^1/4 × x^1/2 = x^{(1/4 + 1/2)}

= x^{(1/4 + 2/4)}

= x^3/4

Essas são expressões específicas da regra geral para multiplicar duas expressões com expoentes:

x^uma + x^b = x^{(uma + b)}

Regras para expoentes de frações: dividindo expoentes fracionários com a mesma base

Lide com as divisões de dois números com expoentes fracionários subtraindo o expoente que você está dividindo (o divisor) pelo que você está dividindo (o dividendo). Por exemplo:

x^1/2 ÷ x^1/2 = x^{(1/2 – 1/2)}

= x⁰ = 1

Isso faz sentido, porque qualquer número dividido por si só é igual a um, e isso concorda com o resultado padrão de que qualquer número elevado a uma potência de 0 seja igual a um. O próximo exemplo usa números como bases e diferentes expoentes:

16^1/2 ÷ 16^1/4 = 16^{(1/2 – 1/4)}

= 16^{(2/4 – 1/4)}

= 16^1/4

= 2

O que você também pode ver se notar que 16^1/2 = 4 e 16^1/4 = 2.

Assim como na multiplicação, você também pode acabar com expoentes fracionários que têm um número diferente de um no numerador, mas lida com eles da mesma maneira.

Eles simplesmente expressam a regra geral para dividir expoentes:

x^uma ÷ x^b = x^{(uma – b)}

Multiplicando e dividindo expoentes fracionários em diferentes bases

Se as bases nos termos forem diferentes, não há maneira fácil de multiplicar ou dividir expoentes. Nesses casos, basta calcular o valor dos termos individuais e, em seguida, executar a operação necessária. A única exceção é se o expoente for o mesmo; nesse caso, você pode multiplicar ou dividi-lo da seguinte maneira:

x⁴ × y⁴ = (xy)⁴

x⁴ ÷ y⁴ = (x y)⁴