Contente
- A derivada como uma inclinação
- A derivada de uma função de poder
- Derivada de uma série de potências
- Derivadas de tabelas
Uma das operações importantes que você faz no cálculo é encontrar derivadas. A derivada de uma função também é chamada de taxa de alteração dessa função. Por exemplo, se x (t) é a posição de um carro a qualquer momento t, então a derivada de x, escrita dx / dt, é a velocidade do carro. Além disso, a derivada pode ser visualizada como a inclinação de uma linha tangente ao gráfico de uma função. No nível teórico, é assim que os matemáticos encontram derivadas. Na prática, os matemáticos usam conjuntos de regras básicas e tabelas de pesquisa.
A derivada como uma inclinação
A inclinação de uma linha entre dois pontos é a elevação ou diferença nos valores de y divididos pela execução ou diferença nos valores de x. A inclinação de uma função y (x) para um determinado valor de x é definida como a inclinação de uma linha que é tangente à função no ponto. Para calcular a inclinação, você constrói uma linha entre o ponto e um ponto próximo, onde h é um número muito pequeno. Para esta linha, a execução ou alteração no valor de x é h, e a subida ou alteração no valor de y é y (x + h) - y (x). Conseqüentemente, a inclinação de y (x) no ponto é aproximadamente igual a / = / h. Para obter exatamente a inclinação, você calcula o valor da inclinação à medida que h se torna cada vez menor, até o "limite" onde fica zero. A inclinação calculada dessa maneira é a derivada de y (x), que é escrita como y '(x) ou dy / dx.
A derivada de uma função de poder
Você pode usar o método slope / limit para calcular as derivadas de funções em que y é igual a x à potência de a ou y (x) = x ^ a. Por exemplo, se y é igual a x ao cubo, y (x) = x ^ 3, então dy / dx é o limite conforme h vai para zero de / h. A expansão (x + h) ^ 3 fornece / h, que reduz para 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 após a divisão por h. No limite em que h vai para zero, todos os termos que possuem h também vão para zero. Então, y '(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Você pode fazer isso para valores diferentes de 3 e, em geral, pode mostrar que d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Derivada de uma série de potências
Muitas funções podem ser escritas como as chamadas séries de potências, que são a soma de um número infinito de termos, onde cada uma tem a forma C (n) x ^ n, onde x é uma variável, n é um número inteiro e C ( n) é um número específico para cada valor de n. Por exemplo, a série de potências para a função seno é Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., onde "..." significa termos que continuam em ao infinito. Se você conhece a série de potências para uma função, pode usar a derivada da potência x ^ n para calcular a derivada da função. Por exemplo, a derivada de Sin (x) é igual a 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ..., que passa a ser a série de potências para Cos (x).
Derivadas de tabelas
As derivadas de funções básicas, como potências como x ^ a, funções exponenciais, funções de log e funções trigonométricas, são encontradas usando o método de inclinação / limite, o método de séries de potências ou outros métodos. Esses derivativos são listados nas tabelas. Por exemplo, você pode procurar que a derivada de Sin (x) seja Cos (x). Quando funções complexas são combinações das funções básicas, você precisa de regras especiais, como a regra da cadeia e a regra do produto, que também são fornecidas nas tabelas. Por exemplo, você usa a regra da cadeia para descobrir que a derivada de Sin (x ^ 2) é 2xCos (x ^ 2). Você usa a regra do produto para descobrir que a derivada de xSin (x) é xCos (x) + Sin (x). Usando tabelas e regras simples, você pode encontrar a derivada de qualquer função. Mas quando uma função é extremamente complexa, os cientistas às vezes recorrem a programas de computador para obter ajuda.