Como fatorar com expoentes fracionários negativos

Contente

• TL; DR (muito longo; não leu)
• Factoring Poderes Negativos
• Factoring Expoentes Fracionários
• Combinando expoentes negativos e fracionários
• Outro exemplo de simplificação de expoentes negativos fracionários

Um expoente positivo informa quantas vezes você deve multiplicar o número base por si mesmo. Por exemplo, o termo exponencial y³ é o mesmo que y × y × you y multiplicado por si só três vezes. Depois de entender esse conceito básico, você pode começar a adicionar camadas extras, como expoentes negativos, expoentes fracionários ou até mesmo uma combinação de ambos.

TL; DR (muito longo; não leu)

Um expoente fracionário negativo y^{-m/ n} pode ser fatorado no formato:

1 / (ⁿ√y)^m

Factoring Poderes Negativos

Antes de fatorar expoentes fracionais negativos, vamos dar uma olhada rápida em como fatorar expoentes negativos, ou potências negativas, em geral. Um expoente negativo faz exatamente o inverso de um expoente positivo. Então, enquanto um expoente positivo como uma⁴ diz para você multiplicar uma por si só quatro vezes, ou a × a × a × a, ver um expoente negativo diz para você dividir por uma quatro vezes: então uma^-4 = 1 / (a ​​× a × a × a). Ou, para ser mais formal:

x^-y = 1 / (x^y)

Factoring Expoentes Fracionários

O próximo passo é aprender a fatorar expoentes fracionários. Vamos começar com um expoente fracionário muito simples, como x^{1 / a}. Quando você vê um expoente fracionário como esse, significa que você deve yraiz do número base. Para ser mais formal:

x^{1 / a} = ^y√x

Se isso parecer confuso, mais alguns exemplos concretos podem ajudar:

y^1/3 = ³√y

b^1/2 = √b (Lembrar, √x é o mesmo que ²√x; mas essa expressão é tão comum que o ², ou número de índice, é omitido.)

8^1/3 = ³√8 = 2

E se o numerador do expoente fracionário não for 1? Então esse valor numérico permanece como um expoente, aplicado ao termo "raiz" inteiro. Em termos formais, isso significa:

y^m/n = (ⁿ√y)^m

Como um exemplo mais concreto, considere o seguinte:

uma^b/5 = (⁵√a)^b

Combinando expoentes negativos e fracionários

Quando se trata de fatorar expoentes fracionais negativos, você pode combinar o que aprendeu sobre expressões de fatoração com expoentes negativos e aqueles com expoentes fracionários.

Lembrar, x^-y = 1 / (x^-y), independentemente do que está no y local; y pode até ser uma fração.

Então, se você tem uma expressão x^{-uma/ b}, isso é igual a 1 / (x^{uma/ b}). Mas você pode simplificar um passo além, aplicando também o que sabe sobre expoentes fracionários ao termo no denominador da fração.

Lembrar, y^m/n = (ⁿ√y)^m ou, para usar as variáveis ​​com as quais você já está lidando, x^{uma/ b} = (^b√x)^uma.

Então, dando mais um passo na simplificação x^{-uma/ b}, Você tem x^{-uma/ b} = 1 / (x^{uma/ b}) = 1 / . Isso é o máximo que você pode simplificar sem saber mais sobre x, b ou uma. Mas se você souber mais sobre qualquer um desses termos, poderá simplificar ainda mais.

Outro exemplo de simplificação de expoentes negativos fracionários

Para ilustrar isso, veja mais um exemplo com um pouco mais de informação adicionada:

Simplificar 16^-4/8.

Primeiro, você notou que -4/8 pode ser reduzido para -1/2? Então você tem 16^-1/2, que já parece muito mais amigável (e talvez até mais familiar) do que o problema original.

Simplificando como antes, você chegará às 16^-1/2 = 1 /, que geralmente é escrito simplesmente como 1 / √16 _._ E como você sabe (ou pode calcular rapidamente) que √16 = 4, você pode simplificar esse último passo para:

16^-4/8 = 1/4