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As taxas de mudança aparecem em toda a ciência, e especialmente na física, através de quantidades como velocidade e aceleração. As derivadas descrevem a taxa de variação de uma quantidade em relação a outra matematicamente, mas calculá-las às vezes pode ser complicada, e você pode apresentar um gráfico, em vez de uma função na forma de equação. Se você for apresentado a um gráfico de uma curva e precisar encontrar a derivada, talvez não seja tão preciso quanto em uma equação, mas é possível fazer uma estimativa sólida com facilidade.
TL; DR (muito longo; não leu)
Escolha um ponto no gráfico para encontrar o valor da derivada em.
Desenhe uma linha reta tangente à curva do gráfico neste momento.
Pegue a inclinação desta linha para encontrar o valor da derivada no ponto escolhido no gráfico.
O que é um derivado?
Fora do cenário abstrato de diferenciar uma equação, você pode ficar um pouco confuso sobre o que realmente é uma derivada. Na álgebra, uma derivada de uma função é uma equação que informa o valor da “inclinação” da função em qualquer ponto. Em outras palavras, indica quanto uma quantidade muda, dada uma pequena alteração na outra. Em um gráfico, o gradiente ou a inclinação da linha informa quanto a variável dependente (colocada no y-axis) muda com a variável independente (no x-eixo).
Para gráficos lineares, você determina a taxa (constante) de alteração calculando a inclinação do gráfico. Os relacionamentos descritos pelas curvas não são tão fáceis de lidar, mas o princípio de que a derivada significa apenas a inclinação (naquele ponto específico) ainda é verdadeiro.
Para relacionamentos descritos por curvas, a derivada assume um valor diferente em cada ponto ao longo da curva. Para estimar a derivada do gráfico, você precisa escolher um ponto para obter a derivada. Por exemplo, se você tiver um gráfico mostrando a distância percorrida no tempo, em um gráfico linear, a inclinação indicará a velocidade constante. Para velocidades que mudam com o tempo, o gráfico seria uma curva, mas uma linha reta que apenas toca a curva em um ponto (uma linha tangencial à curva) representa a taxa de mudança nesse ponto específico.
Escolha um ponto em que você precisa conhecer a derivada. Usando o exemplo da distância percorrida versus o tempo, selecione o horário em que deseja saber a velocidade da viagem. Se você precisar conhecer a velocidade em vários pontos diferentes, poderá executar esse processo para cada ponto individual. Se você deseja saber a velocidade 15 segundos após o início do movimento, escolha o ponto na curva em 15 segundos no x-eixo.
Desenhe uma linha tangencial à curva no ponto em que estiver interessado. Não se apresse, pois é a parte mais importante e desafiadora do processo. Sua estimativa será melhor se você desenhar uma linha tangente mais precisa. Segure uma régua até o ponto da curva e ajuste sua orientação para que a linha que você desenha só toque na curva no ponto em que você está interessado.
Desenhe sua linha contanto que o gráfico permita. Certifique-se de poder ler facilmente dois valores para os dois x e y coordenadas, uma perto do início da sua linha e outra perto do fim. Você não precisa absolutamente desenhar uma linha longa (tecnicamente qualquer linha reta é adequada), mas linhas mais longas tendem a ser mais fáceis de medir a inclinação de.
Localize dois lugares na sua linha e anote o x e y coordenadas para eles. Por exemplo, imagine sua linha tangente como dois pontos notáveis em x = 1, y = 3 e x = 10, y = 30, que você pode chamar de ponto 1 e ponto 2. Usando os símbolos x1 e y1 para representar as coordenadas do primeiro ponto e x2 e y2 para representar as coordenadas do segundo ponto, a inclinação m É dado por:
m = (y2 - y1) ÷ (x2 – x1)
Isso indica a derivada da curva no ponto em que a linha toca a curva. No exemplo, x1 = 1, x2 = 10, y1 = 3 e y2 = 30, então:
m = (30 – 3) ÷ (10 – 1)
= 27 ÷ 9
= 3
No exemplo, esse resultado seria a velocidade no ponto escolhido. Então, se o xo eixo foi medido em segundos e o yComo o eixo foi medido em metros, o resultado significaria que o veículo em questão estava viajando a 3 metros por segundo. Independentemente da quantidade específica que você está calculando, o processo de estimativa da derivada é o mesmo.