Contente
- O que é um fator?
- Encontrando o Maior Fator Comum: Método Um
- Encontrando o Maior Fator Comum: Método Dois
- Simplificando frações com fatores comuns
Encontrar o maior fator comum, ou GCF, de dois números é útil em muitas situações em matemática, mas particularmente quando se trata de simplificar frações. Se você está lutando com isso ou encontrando denominadores comuns, aprender dois métodos para encontrar fatores comuns o ajudará a alcançar o que está planejando fazer. Primeiro, porém, é uma boa ideia aprender sobre o básico de fatores; então, você pode examinar duas abordagens para encontrar fatores comuns. Por fim, você pode ver como aplicar seu conhecimento para simplificar uma fração.
O que é um fator?
Fatores são os números que você multiplica para produzir outro número. Por exemplo, 2 e 3 são fatores de 6, porque 2 × 3 = 6. Da mesma forma, 3 e 3 são fatores de 9, porque 3 × 3 = 9. Como você deve saber, números primos são números que não têm outros fatores além de eles mesmos e 1. Então 3 é um número primo, porque os únicos dois números inteiros (números inteiros) que podem se multiplicar para dar 3 como resposta são 3 e 1. Da mesma forma, 7 é um número primo e 13 .
Por esse motivo, geralmente é útil dividir um número em "fatores primos". Isso significa encontrar todos os fatores de números primos de outro número. Basicamente, divide o número em seus "blocos de construção" fundamentais, que é um passo útil para encontrar o maior fator comum de dois números e também é inestimável quando se trata de simplificar as raízes quadradas.
Encontrando o Maior Fator Comum: Método Um
O método mais simples para encontrar o maior fator comum de dois números é simplesmente listar todos os fatores de cada número e procurar o número mais alto que os dois compartilham. Imagine que você deseja encontrar o maior fator comum de 45 e 60. Primeiro, observe os diferentes números que podem ser multiplicados para produzir 45.
A maneira mais fácil de começar é com as duas que você sabe que funcionarão, mesmo para um número primo. Nesse caso, sabemos 1 × 45 = 45, então sabemos que 1 e 45 são fatores de 45. Esses são o primeiro e o último fator de 45, para que você possa preencher a partir daí. Em seguida, verifique se 2 é um fator. Isso é fácil, porque qualquer número par será divisível por 2 e qualquer número ímpar não será. Então, sabemos que 2 não é um fator de 45. E quanto a 3? Você deve ser capaz de identificar que 3 é um fator de 45, porque 3 × 15 = 45 (você sempre pode desenvolver o que sabe para resolver isso, por exemplo, você saberá que 3 × 12 = 36 e acrescenta três a isso leva a 45).
Em seguida, 4 é um fator de 45? Não - você sabe 11 × 4 = 44, então não pode ser! Em seguida, que tal 5? Essa é outra questão fácil, porque qualquer número que termina em 0 ou 5 é divisível por 5. E com isso, você pode identificar facilmente 5 × 9 = 45. Mas 6 não é bom porque 7 × 6 = 42 e 8 × 6 = 48. Com isso, você também pode ver que 7 e 8 não são fatores de 45. Já sabemos que 9 é e é fácil ver que 10 e 11 não são fatores. Continue esse processo e você verá que 15 é um fator, mas nada mais é.
Portanto, os fatores de 45 são: 1, 3, 5, 9, 15 e 45.
Para 60, você executa exatamente o mesmo processo. Desta vez, o número é par (então você sabe que 2 é um fator) e divisível por 10 (então 5 e 10 são fatores), o que facilita um pouco as coisas. Depois de passar pelo processo novamente, você verá que os fatores de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60.
A comparação das duas listas mostra que 15 é o maior fator comum de 45 e 60. Esse método pode ser demorado, mas é simples e sempre funcionará. Você também pode começar com qualquer fator comum elevado que possa identificar imediatamente e, em seguida, simplesmente procurar fatores mais altos de cada número.
Encontrando o Maior Fator Comum: Método Dois
O segundo método de encontrar o GCF para dois números é usar fatores primos. O processo de fatoração primária é um pouco mais fácil e mais estruturado do que encontrar todos os fatores. Vamos seguir o processo para 42 e 63.
O processo de fatoração primária basicamente envolve dividir o número até você ficar com números primos. É melhor começar com o menor primo (dois) e trabalhar a partir daí. Portanto, para 42, é fácil ver que 2 × 21 = 42. Depois, trabalhe a partir de 21: 2 é um fator? Não. É 3? Sim! 3 × 7 = 21 e 3 e 7 são números primos. Isso significa que os fatores primos de 42 são 2, 3 e 7. O primeiro "intervalo" usado 2 para chegar a 21 e o segundo dividido em 3 e 7. Você pode verificar isso multiplicando todos os seus fatores juntos e verificando você obtém o número original: 2 × 3 × 7 = 42.
Para 63, 2 não é um fator, mas 3 é porque 3 × 21 = 63. Novamente, 21 divide-se em 3 e 7 - ambos primos - para que você conheça os fatores primos! A verificação mostra que 3 × 3 × 7 = 63, conforme necessário.
Você encontra o maior fator comum observando quais fatores primos os dois números têm em comum. Nesse caso, 42 tem 2, 3 e 7 e 63 tem 3, 3 e 7. Eles têm 3 e 7 em comum. Para encontrar o maior fator comum, multiplique todos os fatores primos comuns. Nesse caso, 3 × 7 = 21, então 21 é o maior fator comum de 42 e 63.
O exemplo anterior também pode ser resolvido mais rapidamente dessa maneira. Como 45 é divisível por três (3 × 15 = 45) e 15 também é divisível por três (3 × 5 = 15), os fatores primos de 45 são 3, 3 e 5. Para 60, é divisível por dois (2 × 30 = 60), 30 também é divisível por dois (2 × 15 = 30), e você fica com 15, que sabemos ter três e cinco como fatores primos, deixando 2, 2, 3 e 5. Comparando as duas listas, três e cinco são os fatores primos comuns, portanto, o maior fator comum é 3 × 5 = 15.
No caso de haver três ou mais fatores primos comuns, você os multiplica da mesma maneira para encontrar o maior fator comum.
Simplificando frações com fatores comuns
Se você receber uma fração como 32/96, ele pode fazer com que os cálculos sejam muito complicados, a menos que seja possível encontrar uma maneira de simplificar a fração. Encontrar o fator comum mais baixo de 32 e 96 indica o número para dividir os dois, para obter uma fração mais simples. Nesse caso:
32 = 2 × 16
16 = 2 × 2 × 2 × 2
Então 32 = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Para 96, o processo fornece:
96 = 48 × 2
48 = 24 × 2
24 = 12 × 2
12 = 6 × 2
6 = 3 × 2
Então 96 = 25 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Deve ficar claro que 25 = 32 é o maior fator comum. Dividir ambas as partes da fração por 32 fornece:
32/96 = 1/3
Encontrar denominadores comuns é um processo semelhante. Imagine que você tivesse que adicionar as frações 15/45 e 40/60. Sabemos pelo primeiro exemplo que 15 é o fator comum mais alto de 45 e 60, para que possamos expressá-los imediatamente como 5/15 e 10/15. Como 3 × 5 = 15 e os dois numeradores também são divisíveis por cinco, podemos dividir as duas partes de ambas as frações por cinco para obter 1/3 e 2/3. Agora eles são muito mais fáceis de adicionar e ver que 15/45 + 40/60 = 1.