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Em matemática, às vezes surge a necessidade de provar se as funções são dependentes ou independentes uma da outra em um sentido linear. Se você tiver duas funções que dependem linearmente, representar graficamente as equações dessas funções resultará em pontos que se sobrepõem. Funções com equações independentes não se sobrepõem quando representadas graficamente. Um método para determinar se as funções são dependentes ou independentes é calcular o Wronskian para as funções.
O que é um Wronskian?
O Wronskiano de duas ou mais funções é o que é conhecido como determinante, que é uma função especial usada para comparar objetos matemáticos e provar certos fatos sobre eles. No caso de Wronskian, o determinante é usado para provar dependência ou independência entre duas ou mais funções lineares.
A Matriz Wronskiana
Para calcular o Wronskian para funções lineares, as funções precisam ser resolvidas para o mesmo valor dentro de uma matriz que contém as funções e suas derivadas. Um exemplo disso é W (f, g) (t) = | ff((tt)) gg((tt)) |, que fornece ao Wronskian duas funções (f e g) que são resolvidas para um único valor maior que zero (t); você pode ver as duas funções f (t) eg (t) na linha superior da matriz e as derivadas f (t) eg (t) na linha inferior. Observe que o Wronskian também pode ser usado para conjuntos maiores. Se, por exemplo, você testar três funções com um Wronskiano, poderá preencher uma matriz com as funções e derivadas de f (t), g (t) eh (t).
Resolvendo o Wronskian
Depois de organizar as funções em uma matriz, multiplique cada função pela derivada da outra função e subtraia o primeiro valor do segundo. Para o exemplo acima, isso fornece W (f, g) (t) = f (t) g (t) - g (t) f (t). Se a resposta final for igual a zero, isso mostra que as duas funções são dependentes. Se a resposta for diferente de zero, as funções são independentes.
Exemplo Wronskian
Para ter uma idéia melhor de como isso funciona, suponha que f (t) = x + 3 eg (t) = x - 2. Usando um valor de t = 1, você pode resolver as funções como f (1) = 4 e g (1) = -1. Como essas são funções lineares básicas com uma inclinação de 1, as derivadas de f (t) eg (t) são iguais a 1. A multiplicação cruzada de seus valores resulta em W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1), que fornece um resultado final de 5. Embora as funções lineares tenham a mesma inclinação, elas são independentes porque seus pontos não se sobrepõem. Se f (t) tivesse produzido um resultado de -1 em vez de 4, o Wronskian teria dado um resultado de zero para indicar dependência.