Como calcular CG

Contente

• Como escrever sobre o centro de gravidade
• Como calcular CG de um triângulo
• Fórmula do centro de gravidade para um retângulo
• A equação do centro de gravidade
• Truques para encontrar o centro de gravidade

Antes de discutir o centro de gravidade, vamos assumir alguns parâmetros. Primeiro, você está lidando com um objeto que está na superfície da Terra, não no espaço em algum lugar. E dois, que o objeto é razoavelmente pequeno - digamos, não uma nave espacial estacionada na Terra, esperando para decolar.Depois que todas essas influências extraterrestres são eliminadas, você está em uma boa posição para calcular o centro de gravidade de objetos geométricos usando uma fórmula relativamente simples - e, de fato, por causa dessas condições definidas, você usará a mesma fórmula para encontrar o centro de gravidade como para encontrar o centro de massa.

Como escrever sobre o centro de gravidade

O centro de gravidade em um plano bidimensional é geralmente indicado pelas coordenadas (x_CGy_CG) ou às vezes pelas variáveis x e y com uma barra sobre eles. Além disso, o termo "centro de gravidade" é às vezes abreviado para cg.

Como calcular CG de um triângulo

Seu livro de matemática ou física geralmente possui gráficos para determinar o centro do equilíbrio de certas figuras. Porém, para algumas formas geométricas comuns, você pode usar a fórmula apropriada do centro de gravidade para descobrir que forma o centro de gravidade.

Para triângulos, o centro de gravidade fica no ponto em que as três medianas se cruzam. Se você começar em um vértice do triângulo e desenhar uma linha reta no ponto médio do outro lado, isso significa uma mediana. Faça o mesmo para os outros dois vértices, e o ponto onde as três medianas se cruzam é ​​o centro de gravidade dos triângulos.

E, claro, há uma fórmula para isso. Se as coordenadas dos triângulos do centro de gravidade são (x_CGy_CG), você encontra suas coordenadas assim:

x_CG = (x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3

y_CG = (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3

Onde (x₁y₁), (x₂y₂) e (x₃y₃) são as coordenadas dos triângulos três vértices. Você escolhe qual vértice é atribuído qual número.

Fórmula do centro de gravidade para um retângulo

Você notou que, para encontrar o centro de gravidade de um triângulo, apenas calcula a média do valor das coordenadas x, depois calcula a média do valor das coordenadas y e usa os dois resultados como coordenadas do seu centro de gravidade?

Para encontrar o centro de gravidade de um retângulo, faça exatamente a mesma coisa. Mas, para facilitar ainda mais seus cálculos, suponha que o retângulo esteja orientado diretamente para um plano de coordenadas cartesianas (portanto, não esteja definido em ângulo) e que seu vértice inferior esquerdo esteja na origem do gráfico. Nesse caso, para encontrar (x_CGy_CG) para um retângulo, tudo que você precisa calcular é:

x_CG = largura ÷ 2

y_CG = altura ÷ 2

Se você não deseja realocar seu retângulo para a origem do plano de coordenadas ou se, por algum motivo, não for exatamente quadrado para os eixos de coordenadas, poderá enfrentar esta fórmula de aparência um pouco mais assustadora, mas ainda eficaz, para calcular a média de todas as coordenadas x para encontrar o valor de x_CGe calcule a média de todas as coordenadas y para encontrar o valor de y_CG:

x_CG = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) ÷ 4

y_CG = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄) ÷ 4

A equação do centro de gravidade

E se você precisar calcular o centro de gravidade para uma forma que atenda a todas as premissas mencionadas pela primeira vez (basicamente, você não está tentando fazer ciência literal de foguetes encontrando o centro de gravidade para objetos no espaço), mas ele não cai em nenhuma das as categorias mencionadas ou nos gráficos na parte de trás do seu livro? Em seguida, você pode subdividir sua forma em formas mais familiares e usar as seguintes equações para encontrar seu centro de gravidade coletivo:

x_CG = (a₁x₁ + a₂x₂ +. . . + a_nx_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

y_CG = (a₁y₁ + a₂y₂ +. . . + a_ny_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

Ou, em outras palavras, x_CG é igual à área da seção 1 vezes sua localização no eixo x, adicionada à área da seção 2 vezes sua localização, e assim por diante, até que você tenha adicionado a área vezes a localização de todas as seções; depois divida esse valor inteiro pela área total de todas as seções. Então faça o mesmo para y.

P: Como encontro a área de cada seção? Dividir sua forma complexa ou irregular em polígonos mais familiares permite usar fórmulas padronizadas para encontrar a área. Por exemplo, se você dividiu essa forma em partes retangulares, pode usar o comprimento da fórmula × largura para encontrar a área de cada peça.

P: Qual é o "local" de cada seção? A localização de cada seção é a coordenada apropriada do centro de gravidade das seções. Então, se você quer₂ (o local do segmento 2), você precisa fornecer a coordenada y para o centro de gravidade desses segmentos. Novamente, é por isso que você subdivide um objeto de forma estranha em formas mais familiares, porque é possível usar as fórmulas já discutidas para encontrar o centro de gravidade de cada forma e extrair as coordenadas apropriadas.

P: Onde minha forma fica no plano de coordenadas? Você pode escolher onde sua forma fica no plano de coordenadas - lembre-se de que seu centro de gravidade de respostas estará em relação ao mesmo ponto de referência. É mais fácil colocar seu objeto no primeiro quadrante do gráfico, com a borda inferior contra o eixo x e a borda esquerda contra o eixo y, para que todos os valores x e y sejam positivos, mas também pequenos o suficiente para serem gerenciável.

Truques para encontrar o centro de gravidade

Se você está lidando com um único objeto, às vezes basta intuição e um pouco de lógica para encontrar seu centro de gravidade. Por exemplo, se você estiver considerando um disco plano, o centro de gravidade será o centro do disco. Em um cilindro, é o ponto médio no eixo do cilindro. Para um retângulo (ou quadrado), é o ponto em que as linhas diagonais convergem.

Você deve ter notado um padrão aqui: se o objeto em questão tiver uma linha de simetria, o centro de gravidade estará nessa linha. E se tiver múltiplos eixos de simetria, o centro de gravidade será onde esses eixos se cruzam.

Por fim, se você estiver tentando encontrar o centro de gravidade de um objeto verdadeiramente complexo, terá duas opções: Escolha suas melhores integrais de cálculo (consulte Recursos para uma integral tripla que representa o centro de gravidade de uma massa não uniforme) ou insira seus dados em uma calculadora de centro de gravidade criada para esse fim. (Consulte Recursos para obter um exemplo de calculadora de centro de gravidade para aviões controlados por rádio.)