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Um polígono é qualquer figura bidimensional fechada com 3 ou mais lados retos (não curvos) e um polígono de 12 lados é conhecido como dodecágono. Um dodecágono regular é aquele com lados e ângulos iguais, e é possível derivar uma fórmula para calcular sua área. Um dodecágono irregular possui lados de diferentes comprimentos e ângulos diferentes. Uma estrela de seis pontas é um exemplo. Não há uma maneira fácil de calcular a área de uma figura irregular de 12 lados, a menos que você a tenha plotada em um gráfico e possa ler as coordenadas de cada um dos vértices. Caso contrário, a melhor estratégia é dividir a figura em formas regulares para as quais você pode calcular a área.
Cálculo da área de um polígono regular de 12 lados
Para calcular a área de um dodecágono regular, você precisa encontrar o centro, e a melhor maneira de fazer isso é escrever um círculo ao redor dele que apenas toque em cada um de seus vértices. O centro do círculo é o centro do dodecágono, e a distância do centro da figura a cada um de seus vértices é simplesmente o raio do círculo (r) Cada um dos 12 lados da figura tem o mesmo comprimento, então denote isso por s.
Você precisa de mais uma medida, e esse é o comprimento de uma linha perpendicular desenhada do ponto médio de cada lado ao centro da forma de 12 lados. Essa linha é conhecida como apótema. Indique seu comprimento por m. Ele divide cada seção formada pelas linhas do raio em dois triângulos retângulos. Você não sabe m, mas você pode encontrá-lo usando o teorema de Pitágoras.
As 12 linhas de raio dividem o círculo que você rabiscou em torno do dodecágono em 12 seções iguais; portanto, no centro da figura, o ângulo que cada linha faz com o próximo a ela é de 30 graus. Cada uma das 12 seções formadas pelas linhas de raio é composta por um par de triângulos retângulos com hipotenusa r e um ângulo de 15 graus. O lado adjacente ao ângulo é m, para que você possa encontrá-lo usando reo seno do ângulo.
sin (15) = m/re resolva para m
m = r × pecado (15)
Agora você pode encontrar a área de cada um dos triângulos isósceles inscritos no dodecágono, porque você conhece o comprimento da base - que é s - e a altura, m. A área de cada triângulo é 1/2 × base × altura
= 1/2 × s × m
= 1/2 × (s × r × pecado (15))
Existem 12 seções, então multiplique por 12 para encontrar a área total da forma regular de 12 lados:
Área do dodecágono regular = 6 × (s × r × pecado (15))
Encontrando a área de um dodecágono irregular
Não existe uma fórmula para encontrar a área de um dodecágono irregular, pois os comprimentos dos lados e dos ângulos não são os mesmos. É até difícil identificar o centro. A melhor estratégia é dividir a figura em formas regulares, calcular a área de cada uma e adicioná-las.
Se a forma é plotada em um gráfico e você conhece as coordenadas dos vértices, existe uma fórmula que pode ser usada para calcular a área. Se cada ponto (n) é definido por (xn, yn) e você percorre a figura em ordem, no sentido horário ou anti-horário, para obter uma série de 12 pontos, a área é:
Área = | (x1y2 − y1x2) + (x2y3 − y2x3) ... + (x11y12 − y11x12) +(x12y1 − y12x1)| ÷ 2.