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A integração de funções é uma das principais aplicações do cálculo. Às vezes, isso é direto, como em:
F (x) = ∫ (x3 + 8) dx
Em um exemplo comparativamente complicado desse tipo, você pode usar uma versão da fórmula básica para integrar integrais indefinidas:
∫ (xn + A) dx = x(n + 1)/ (n + 1) + An + C,
onde A e C são constantes.
Assim, para este exemplo,
∫ x3 + 8 = x4/ 4 + 8x + C.
Integração de funções básicas de raiz quadrada
Na superfície, integrar uma função de raiz quadrada é estranho. Por exemplo, você pode ser frustrado por:
F (x) = ∫ √dx
Mas você pode expressar uma raiz quadrada como um expoente, 1/2:
√ x3 = x3(1/2) = x(3/2)
A integral torna-se, portanto:
∫ (x3/2 + 2x - 7) dx
à qual você pode aplicar a fórmula usual acima:
= x(5/2)/ (5/2) + 2 (x2/ 2) - 7x
= (2/5) x(5/2) + x2 - 7x
Integração de funções de raiz quadrada mais complexas
Às vezes, você pode ter mais de um termo sob o sinal radical, como neste exemplo:
F (x) = x dx
Você pode usar a substituição u para prosseguir. Aqui, você define u igual à quantidade no denominador:
u = √ (x - 3)
Resolva isso para x ao quadrado dos dois lados e subtraindo:
você2 = x - 3
x = u2 + 3
Isso permite que você obtenha dx em termos de u, obtendo a derivada de x:
dx = (2u) du
Substituir de volta à integral original fornece
F (x) = ∫ (u2 + 3 + 1) / udu
= ∫du
= ∫ (2u2 + 8) du
Agora você pode integrar isso usando a fórmula básica e expressando u em termos de x:
∫ (2u2 + 8) du = (2/3) u3 + 8u + C
= (2/3) 3 + 8 + C
= (2/3) (x - 3)(3/2) + 8 (x - 3)(1/2) + C