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Na geometria, um octógono é um polígono com oito lados. Um octógono regular tem oito lados iguais e ângulos iguais. O octógono regular é comumente reconhecido a partir dos sinais de parada. Um octaedro é um poliedro de oito lados. Um octaedro regular possui oito triângulos com bordas de igual comprimento. São efetivamente duas pirâmides quadradas que se encontram em suas bases.
Fórmula da área do octógono
A fórmula para a área de um octógono regular com lados de comprimento "a" é 2 (1 + sqrt (2)) a ^ 2, onde "sqrt" indica a raiz quadrada.
Derivação
Um octógono pode ser visto como 4 retângulos, um quadrado no centro e quatro triângulos isósceles nos cantos.
O quadrado é da área a ^ 2.
Os triângulos têm os lados a, a / sqrt (2) e a / sqrt (2), pelo teorema de Pitágoras. Portanto, cada um tem uma área de ^ 2/4.
Os retângulos são da área a * a / sqrt (2).
A soma dessas 9 áreas é 2a ^ 2 (1 + sqrt (2)).
Fórmula de volume do octaedro
A fórmula para o volume de um octaedro regular dos lados "a" é ^ ^ * sqrt (2) / 3.
Derivação
A área de uma pirâmide de quatro lados é a área de base * altura / 3. A área de um octógono regular é, portanto, 2 * base * altura / 3.
Base = a ^ 2 trivialmente.
Escolha dois vértices adjacentes, diga "F" e "C." "O" está no centro. FOC é um triângulo retângulo isósceles com a base "a", portanto OC e OF têm comprimento a / sqrt (2) pelo teorema de Pitágoras. Então height = a / sqrt (2).
Portanto, o volume de um octaedro regular é 2 * (a ^ 2) * a / sqrt (2) / 3 = a ^ 3 * sqrt (2) / 3.
Área de superfície
A superfície regular dos octaedros é a área de um triângulo equilátero do lado "a" vezes 8 faces.
Para usar o teorema de Pitágoras, solte uma linha do ápice até a base. Isso cria dois triângulos retângulos, com a hipotenusa de comprimento "a" e comprimento de um lado "a / 2". Portanto, o terceiro lado deve ser sqrt = sqrt (3) a / 2. Portanto, a área de um triângulo equilátero é altura * base / 2 = sqrt (3) a / 2 * a / 2 = sqrt (3) a ^ 2/4.
Com 8 lados, a área de superfície de um octaedro regular é 2 * sqrt (3) * a ^ 2.