Como fatorar polinômios com frações

Contente

• Polinômios com frações definidas
• Fundamentos de fatoração - propriedade distributiva e método FOIL
• Etapas a serem tomadas ao fatorar frações polinomiais
• Avaliação de equações por decomposição de frações parciais
• Simplifique o denominador
• Reorganizar o numerador

A melhor maneira de fatorar polinômios com frações começa com a redução das frações para termos mais simples. Polinômios representam expressões algébricas com dois ou mais termos, mais especificamente, a soma de vários termos que têm expressões diferentes da mesma variável. Estratégias que auxiliam na simplificação de polinômios envolvem fatorar o maior fator comum, seguido pelo agrupamento da equação em seus termos mais baixos. O mesmo se aplica mesmo ao resolver polinômios com frações.

Polinômios com frações definidas

Você tem três maneiras de visualizar a frase polinômios com frações. A primeira interpretação aborda polinômios com frações para coeficientes. Na álgebra, o coeficiente é definido como a quantidade ou constante numérica encontrada antes de uma variável. Em outras palavras, os coeficientes para 7a, be (1/3) c são 7, 1 e (1/3), respectivamente. Dois exemplos, portanto, de polinômios com coeficientes de fração seriam:

(1/4) x² + 6x + 20, bem como x² + (3/4) x + (1/8).

A segunda interpretação de "polinômios com frações" refere-se a polinômios existentes na forma de fração ou razão com um numerador e um denominador, em que o polinômio do numerador é dividido pelo denominador polinomial. Por exemplo, esta segunda interpretação é ilustrada por:

(x² + 7x + 10) ÷ (x² + 11x + 18)

A terceira interpretação, entretanto, refere-se à decomposição parcial da fração, também conhecida como expansão parcial da fração. Às vezes, as frações polinomiais são complexas e, quando são "decompostas" ou "decompostas" em termos mais simples, são apresentadas como somas, diferenças, produtos ou quocientes de frações polinomiais. Para ilustrar, a fração polinomial complexa de (8x + 7) ÷ (x² + x - 2) é avaliado através da decomposição parcial da fração, que, aliás, envolve fatoração de polinômios, para ser + na forma mais simples.

Fundamentos de fatoração - propriedade distributiva e método FOIL

Fatores representam dois números que, quando multiplicados juntos, equivalem a um terceiro número. Nas equações algébricas, o fatoramento determina quais duas quantidades foram multiplicadas para chegar a um determinado polinômio. A propriedade distributiva é muito seguida ao multiplicar polinômios. A propriedade distributiva permite essencialmente multiplicar uma soma multiplicando cada número individualmente antes de adicionar os produtos. Observe, por exemplo, como a propriedade distributiva é aplicada no exemplo de:

7 (10x + 5) para chegar ao binômio de 70x + 35.

Porém, se dois binômios forem multiplicados, uma versão estendida da propriedade distributiva será utilizada pelo método FOIL. FOIL representa o acrônimo dos termos Primeiro, Exterior, Interno e Último sendo multiplicados. Portanto, fatorar polinômios implica executar o método FOIL ao contrário. Pegue os dois exemplos mencionados acima com os polinômios contendo coeficientes de fração. A execução do método FOIL para trás em cada um deles resulta nos fatores de:

((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) para o primeiro polinômio e os fatores de:

(x + (1/4)) (x + (1/2)) para o segundo polinômio.

Exemplo: (1/4) x² Matemática5 pontoshá 7 minutos

Exemplo: x² + (3/4) x + (1/8) = (x + (1/4)) (x + (1/2))

Etapas a serem tomadas ao fatorar frações polinomiais

Acima, as frações polinomiais envolvem um polinômio no numerador dividido por um polinômio no denominador. A avaliação de frações polinomiais exige, portanto, fatorar o polinômio do numerador primeiro, seguido de fatorar o polinômio do denominador. Ajuda a encontrar o maior fator comum, ou GCF, entre o numerador e o denominador. Uma vez que o GCF do numerador e do denominador é encontrado, ele cancela, reduzindo em última análise a equação inteira em termos simplificados. Considere o exemplo da fração polinomial original acima de

(x² + 7x + 10) ÷ (x²+ 11x + 18).

Fatore os polinômios do numerador e do denominador para encontrar os resultados do GCF em:

÷, com o GCF sendo (x + 2).

O GCF, tanto no numerador quanto no denominador, cancelam-se mutuamente para fornecer a resposta final nos termos mais baixos de (x + 5) ÷ (x + 9).

Exemplo:

x² + 7x + 10 (x + 2)(x + 5) (x + 5)

__ = ___ = __

x²+ 11x + 18 (x + 2)(x + 9) (x + 9)

Avaliação de equações por decomposição de frações parciais

A decomposição de fração parcial, que envolve fatoração, é uma maneira de reescrever equações complexas de fração polinomial em uma forma mais simples. Revisitando o exemplo de cima de

(8x + 7) ÷ (x² + x - 2).

Simplifique o denominador

Simplifique o denominador para obter: (8x + 7) ÷.

8x + 7 8x + 7

__ = __

x² Dê sua nota! Dê sua nota!

Reorganizar o numerador

Em seguida, reorganize o numerador para que ele comece a ter os GCFs presentes no denominador, para obter:

(3x + 5x - 3 + 10) ÷, que é expandido ainda mais para {(3x - 3) ÷} + {(5x + 10) ÷}.

8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10

____ = ___ = ______ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)

Para a adenda à esquerda, o GCF é (x - 1), enquanto para a adenda à direita, o GCF é (x + 2), que é cancelado no numerador e denominador, como visto em {+}.

3x - 3 5x + 10 3(x - 1) 5(x + 2)

___ + __ = ___ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2)(x - 1) (x + 2)(x - 1)

Assim, quando os GCFs cancelam, a resposta final simplificada é +:

3 5

__ + __ como a solução da decomposição da fração parcial.

x + 2 x - 1