Como calcular a trajetória de uma bala

Contente

• TL; DR (muito longo; não leu)
• Antecedentes: (x) e (y) Componentes da velocidade
• Trajetórias básicas com as equações de aceleração constante
• Incorporando Arrastar

O cálculo da trajetória de um marcador serve como uma introdução útil a alguns conceitos-chave da física clássica, mas também tem muito escopo para incluir fatores mais complexos. No nível mais básico, a trajetória de uma bala funciona exatamente como a trajetória de qualquer outro projétil. A chave é separar os componentes da velocidade nos eixos (x) e (y) e usar a aceleração constante devido à gravidade para determinar até que ponto a bala pode voar antes de atingir o solo. No entanto, você também pode incorporar o arrasto e outros fatores, se desejar uma resposta mais precisa.

TL; DR (muito longo; não leu)

Ignore a resistência do vento para calcular a distância percorrida por uma bala usando a fórmula simples:

x = v_0x√2h ÷ g

Onde (v_0x) é sua velocidade inicial, (h) é a altura da qual foi disparado e (g) é a aceleração devido à gravidade.

Esta fórmula incorpora o arrasto:

x = v_x0t - CρAv² t² ÷ 2m

Aqui, (C) é o coeficiente de arrasto da bala, (ρ) é a densidade do ar, (A) é a área da bala, (t) é o tempo de voo e (m) é a massa da bala.

Antecedentes: (x) e (y) Componentes da velocidade

O ponto principal que você precisa entender ao calcular trajetórias é que velocidades, forças ou qualquer outro “vetor” (que tem uma direção e uma força) podem ser divididos em “componentes”. Se algo estiver se movendo em um ângulo de 45 graus na horizontal, pense nisso como se movendo horizontalmente com uma certa velocidade e verticalmente com uma certa velocidade. A combinação dessas duas velocidades e a consideração de diferentes direções fornece a velocidade do objeto, incluindo a velocidade e a direção resultante.

Use as funções cos e sin para separar forças ou velocidades em seus componentes. Se algo estiver se movendo a uma velocidade de 10 metros por segundo em um ângulo de 30 graus em relação à horizontal, o componente x da velocidade é:

v_x = v cos (θ) = 10 m / s × cos (30 °) = 8,66 m / s

Onde (v) é a velocidade (ou seja, 10 metros por segundo) e você pode colocar qualquer ângulo no lugar do (θ) para se adequar ao seu problema. O componente (y) é dado por uma expressão semelhante:

v_y = v sen (θ) = 10 m / s × sin (30 °) = 5 m / s

Esses dois componentes compõem a velocidade original.

Trajetórias básicas com as equações de aceleração constante

A chave para a maioria dos problemas que envolvem trajetórias é que o projétil para de avançar quando atinge o chão. Se a bala é disparada a partir de 1 metro no ar, quando a aceleração devido à gravidade o desce 1 metro, ela não pode mais viajar. Isso significa que o componente y é a coisa mais importante a considerar.

A equação para o deslocamento do componente y é:

y = v_0y t - 0,5 gt²

O índice "0" significa a velocidade inicial na direção (y), (t) significa tempo e (g) significa a aceleração devido à gravidade, que é de 9,8 m / s². Podemos simplificar isso se a bala for disparada perfeitamente na horizontal, para que não tenha velocidade na direção (y). Isso deixa:

y = -0,5 gt²

Nesta equação, (y) significa o deslocamento da posição inicial e queremos saber quanto tempo a bala leva para cair de sua altura inicial (h). Em outras palavras, queremos

y = −h = -0,5 gt²

Que você reorganiza para:

t = √2h ÷ g

Esta é a hora do voo para a bala. Sua velocidade de avanço determina a distância percorrida, e isso é dado por:

x = v_0x t

Onde a velocidade é a velocidade em que ele deixa a arma. Isso ignora os efeitos do arrasto para simplificar a matemática. Usando a equação para (t) encontrada há um momento, a distância percorrida é:

x = v_0x√2h ÷ g

Para uma bala que dispara a 400 m / se dispara a 1 metro de altura, isso dá:

x__ = 400 m / s √

= 400 m / s × 0,452 s = 180,8 m

Então a bala viaja cerca de 181 metros antes de atingir o chão.

Incorporando Arrastar

Para uma resposta mais realista, arraste para as equações acima. Isso complica um pouco as coisas, mas você pode calculá-lo facilmente se encontrar as informações necessárias sobre sua bala e a temperatura e pressão em que está sendo disparada. A equação da força devida ao arrasto é:

F_arrasto = −CρAv² ÷ 2

Aqui (C) representa o coeficiente de arrasto da bala (você pode descobrir uma bala específica ou usar C = 0,295 como uma figura geral), ρ é a densidade do ar (cerca de 1,2 kg / metro cúbico à pressão e temperatura normais) , (A) é a área da seção transversal de um marcador (você pode resolver isso para um marcador específico ou apenas usar A = 4,8 × 10⁻⁵ m², o valor para um calibre .308) e (v) é a velocidade do marcador. Finalmente, você usa a massa da bala para transformar essa força em uma aceleração a ser usada na equação, que pode ser tomada como m = 0,016 kg, a menos que você tenha uma bala específica em mente.

Isso fornece uma expressão mais complicada para a distância percorrida na direção (x):

x = v_x0t - CρAv² t² ÷ 2m

Isso é complicado porque, tecnicamente, o arrasto reduz a velocidade, o que, por sua vez, reduz o arrasto, mas você pode simplificar as coisas apenas calculando o arrasto com base na velocidade inicial de 400 m / s. Usando um tempo de vôo de 0,452 s (como antes), isso fornece:

x__ = 400 m / s × 0,452 s - ÷ 2 × 0,016 kg

= 180,8 m - (0,555 kg m ÷ 0,032 kg)

= 180,8 m - 17,3 m = 163,5 m

Portanto, a adição do arrasto altera a estimativa em cerca de 17 metros.