Contente
- Operações Matemáticas Inversas
- Funções podem ser inversas ou diretas
- Duas funções podem ter uma relação inversa entre si
Você pode observar as relações inversas na matemática de três maneiras. A primeira maneira é considerar as operações que se cancelam. Adição e subtração são as duas operações mais óbvias que se comportam dessa maneira.
Uma segunda maneira de analisar as relações inversas é considerar o tipo de curvas que elas produzem quando você representa graficamente as relações entre duas variáveis. Se o relacionamento entre as variáveis for direto, a variável dependente aumentará quando você aumentar a variável independente, e o gráfico se curva em direção ao aumento dos valores de ambas as variáveis. No entanto, se o relacionamento for inverso, a variável dependente ficará menor quando a independente aumentar, e o gráfico se curva em direção a valores menores da variável dependente.
Certos pares de funções fornecem um terceiro exemplo de relacionamento inverso. Quando você representa graficamente funções inversas entre si em um eixo x-y, as curvas aparecem como imagens espelhadas uma da outra em relação à linha x = y.
Operações Matemáticas Inversas
A adição é a mais básica das operações aritméticas e vem com uma gêmea má - subtração - que pode desfazer o que faz. Digamos que você comece com 5 e adicione 7. Você recebe 12, mas se subtrair 7, ficará com o 5 com o qual você começou. O inverso da adição é subtração e o resultado líquido da adição e subtração do mesmo número é equivalente à adição de 0.
Existe uma relação inversa semelhante entre multiplicação e divisão, mas há uma diferença importante. O resultado líquido da multiplicação e divisão de um número pelo mesmo fator é multiplicar o número por 1, o que o mantém inalterado. Essa relação inversa é útil ao simplificar expressões algébricas complexas e resolver equações.
Outro par de operações matemáticas inversas está aumentando um número para um expoente "n" e assumindo a enésima raiz do número. A relação quadrada é a mais fácil de considerar. Se você soma 2 ao quadrado, obtém 4 e, se a raiz quadrada de 4, obtém 2. Esse relacionamento inverso também é útil para lembrar ao resolver equações complexas.
Funções podem ser inversas ou diretas
Uma função é uma regra que produz um, e apenas um, resultado para cada número digitado. O conjunto de números inseridos é chamado de domínio da função e o conjunto de resultados que a função produz é o intervalo. Se a função for direta, uma sequência de domínio de números positivos que aumentam produz uma sequência de números que também aumentam. F (x) = 2x + 2, f (x) = x2 e f (x) = √x são todas funções diretas.
Uma função inversa se comporta de uma maneira diferente. Quando os números no domínio aumentam, os números no intervalo diminuem. F (x) = 1 / x é a forma mais simples de uma função inversa. À medida que x aumenta, f (x) se aproxima cada vez mais de 0. Basicamente, qualquer função com a variável de entrada no denominador de uma fração e apenas no denominador é uma função inversa. Outros exemplos incluem f (x) = n / x, em que n é qualquer número, f (x) = n / √xe f (x) = n / (x + w) em que w é um número inteiro.
Duas funções podem ter uma relação inversa entre si
Um terceiro exemplo de um relacionamento inverso em matemática é um par de funções que são inversas entre si. Como exemplo, suponha que você insira os números 2, 3, 4 e 5 na função y = 2x + 1.Você obtém estes pontos: (2,5), (3,7), (4,9) e (5,11). Esta é uma linha reta com a inclinação 2 e interceptação em y 1.
Agora inverta os números entre colchetes para criar uma nova função: (5,2), (7,3), (9,4) e (11,5). O alcance da função original se torna o domínio do novo e o domínio da função original se torna o domínio do novo. Também é uma linha, mas sua inclinação é 1/2 e seu intercepto em y é -1/2. Usando a forma y = mx + b de uma linha, você encontra a equação da linha y = (1/2) (x - 1). Este é o inverso da função original. Você poderia derivá-lo facilmente alternando xey na função original e simplificando para obter y sozinho à esquerda do sinal de igual.